ЛЕКЦИЯ

по учебной дисциплине

МАТЕМАТИКА

Тема. Функции нескольких переменных

Лекция 13.Основные понятия функций нескольких переменных

Учебные и воспитательные цели

1. Изучить основные понятия теории функций нескольких переменных, сформулировать основные определения: предел, непрерывность, частные производные для функции двух переменных.

2. Развивать математическое и логическое мышление, повышать математическую культуру.

Учебные вопросы и расчет времени

I. Введение _________________________________________ 5 мин

II. Основная часть ___________________________________ 80 мин

Учебные вопросы

1. Функции двух переменных. Основные понятия __________ 25 мин

2. Предел и непрерывность функции двух переменных ______ 25 мин

3. Частные производные. Касательная плоскость и нормаль

к поверхности ______________________________________ 30 мин

III. Заключение _______________________________________ 5 мин

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

1. Функции двух переменных. Основные понятия

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел . Соответствие f , которое каждой паре чисел сопоставляет одно и только одно число, называетсяфункцией двух переменных, определенной на множестве со значениями вR, и записывается в виде илиПри этомx и y называются независимыми переменными (аргументами), а z – зависимой переменной (функцией).

Множество называетсяобластью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны x и y : S = xy. Областью определения этой функции является множество

Функцию , гдеможно понимать (рассматривать) как функцию точкикоординатной плоскости0ху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границе называется замкнутой, обозначается . Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции в точкеобозначаютилии называютчастным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке областиD в системе координат 0xyz соответствует точка , где–аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию . Например, функцияимеет областью определения круги изображается верхней полусферой с центром в точке 0(0; 0;0) и радиусомR = 1 см (рис. 1).

z

1

1 y

x 1

Рис. 1

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.