Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Дальневосточный федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
ТОЭ, конспект лекций.pdf
Скачиваний:
905
Добавлен:
01.05.2015
Размер:
3.58 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

ЛЕКЦИЯ 30 АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

План лекции

1. Основные характеристики бегущей волны

2. Вторичные параметры однородной линии

3. Зависимость режима работы линии от нагрузки

1. Основныехарактеристикибегущейволны

Любое колебательное движение характеризуют фазовой скоростью и длиной волны.

Фазовая скорость – это скорость изменения фазы колебания, которая с течением времени и ростом координаты х остается неизменной:

(ωt −βx +ψ1)= const .

Исследуем это выражение на экстремум:

ddt (ωt −βx +ψ1)= ωddtt −βddxt + ddψt1 = 0 .

В полученном выражении ddtt =1, ddxt = υ, ddψt1 = 0 . Тогда υ= ωβ .

Если в воздушной линии пренебречь потерями, то максимальная фазовая скорость примерно равна скорости света:

υ ≈ с = 3 105 кмс .

Длина волны λ – это кратчайшее расстояние между двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фаза колебания которых отличается на 2π (см. рис.6.3).

Следовательно, для первого слагаемого напряжения с учетом, что фазу откладываем в направлении волны влево, можно записать:

ωt −β(x + λ)+ ψ1 = ωt −βx + ψ1 − 2π.

Отсюда λ = 2βπ.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-199-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

1. Основные характеристики бегущей волны

Фазовая скорость

υ= ωβ = 2βπf = λf = Tλ .

Отсюда следует, что за время, равное одному периоду, волна пробегает расстояние, равное длине волны.

2. Вторичныепараметрыоднороднойлинии

Однородную линию можно характеризовать с помощью двух парамет-

ров:

коэффициента распространения

γ = Z 0Y 0 = (R0 + jL0ω)(G0 + jC0ω)= α + jβ

и волнового (характеристического) сопротивления

Z

 

=

Z 0

=

(R0 + jL0ω)

 

= Z

e jθ .

 

 

 

c

 

Y

0

 

(G

+ jC

ω)

c

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

Они зависят от первичных параметров R0 , L0 , G0 , C0 и частоты. Опре-

делим зависимость этих параметров от частоты. Коэффициент распространения

α + Jβ = (R0 + jL0ω)(G0 + jC0ω)= R0G0 − ω2 L0C0 + jω(G0 L0 + R0C0 ).

Выделим вещественную и мнимую части. Для этого возведем обе части равенства в квадрат:

α2 + j2αβ −β2 = R0G0 − ω2 L0C0 + jω(G0 L0 + R0C0 ).

Для действительных составляющих получим уравнение

α2 −β2 = R0G0 − ω2 L0C0 ,

для мнимых

2αβ = ω(G0 L0 + R0C0 ).

Совместное решение этих уравнений относительно α и β дает:

α = 12 [R0G0 − ω2 L0C0 + (R02 + ω2 L20 )(G02 + ω2C02 )];

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-200-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

2.Вторичные параметры однородной линии

β= 12 [ω2 L0C0 − R0G0 + (R02 + ω2 L20 )(G02 + ω2C02 )].

Построим зависимости коэффициентов α и β от частоты, считая что

первичные параметры от частоты не зависят.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Когда ω= 0 коэффициент затухания α(0) =

R0G0 .

 

 

 

 

 

 

Когда ω= ∞ коэффициент затухания α(∞) =

R0

 

C0

+

G0

 

L0

.

2

L

 

 

 

 

2

 

C

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Первое слагаемое обусловливает затухание амплитуды волны из-за продольного активного сопротивления линии.

Второе слагаемое обусловливает затухание волны за счет поперечной активной проводимости.

Для уменьшения затухания R0 и G0 необходимо уменьшить. Графики зависимостей α(ω) и

α; β

α∞

α0

 

 

 

 

 

 

β(ω) представлены на рис. 30.1.

 

 

 

 

 

 

При частоте ω= 0 коэффициент

 

 

 

 

 

 

затухания β = 0 .

α

β

 

 

 

При увеличении частоты ω ко-

 

 

 

эффициент β меняется нелинейно (β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нелинейно зависит от частоты). При

 

 

 

 

 

 

ω→ ∞ график β(ω) стремится к пря-

 

arctg √ L0C0

m

ω

 

мой, направленной к оси абцисс под

 

 

 

 

 

 

Рис. 30.1

 

 

 

углом arctg m L0C0 (m – масштабный

 

 

 

 

 

 

коэффициент).

Фазовая скорость

υ=

ω

. При ω→ ∞ коэффициент затухания

 

 

 

 

 

 

 

β

 

β = ω L C

0

. Тогда

υ =

 

1

 

, т. е. при ω→ ∞ фазовая скорость от частоты

 

 

 

0

 

 

 

L0C0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

не зависит.

Фазовая скорость зависит от материала. Графики зависимости υ( f )

приведены на рис. 30.2.

Зависимости α(ω) , β(ω) , υ(ω) имеют большое практическое значение.

В линиях передачи информации сигнал несинусоидальной формы и при передаче сигнала его гармонические составляющие перемещаются вдоль линии с разной скоростью и затухают по разному, т. е. на выходе линии получают искаженный сигнал. Поэтому в линиях передачи информации необходимо принимать меры для устранения искажения сигнала.

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-201-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

2. Вторичные параметры однородной линии

 

Характеристическое

сопро-

 

 

 

 

 

 

 

 

тивление

 

 

 

 

 

 

 

 

v 105 км

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R0 + jL0ω)

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

Z c =

 

 

= Zce jθ.

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(G0 + jC0ω)

 

2

 

медные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

 

 

ω= 0

сопротивление

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Zc (0) =

R0

 

, т. е. имеет активный

 

 

стальные

 

 

 

 

 

 

 

f

характер.

G0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω= ∞

сопротивление

 

20 40 80 160370 640

128 Гц

 

При

 

 

 

 

 

Рис. 30.2

 

 

 

 

 

L0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zc (∞) =

 

, т. е. также имеет ак-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тивный характер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z c

В остальном интервале частот

 

zC ; θ

 

 

 

 

 

 

имеет емкостный характер, так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

как

аргумент знаменателя

больше

 

zC0

zC

 

 

 

 

 

аргумента числителя.

 

 

 

 

√ L0

/C0

 

 

 

 

 

 

На

 

рис. 30.3

представлены

 

zC∞

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

кривые зависимости полного вол-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нового сопротивления и угла θ от

 

 

θ

 

 

 

 

 

частоты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Волновое сопротивление воз-

Рис. 30.3

растает при уменьшении диаметра

 

проводов и увеличении расстояния

 

между проводами.

 

Для воздушной линии электропередачи Zc = (300−600) Ом, для кабеля

Zc = (50−200) Ом.

 

3. Зависимостьрежимаработылинииотнагрузки

Пусть в начале линии длиной l (рис. 30.4) включен генератор, напряжение на зажимах которого U1, а в конце линии – приемник с сопротивлением Z н = Zнe jϕн .

Нужно определить напряжение U1 , необходимое для создания на нагрузке заданного напряжения U2 . Одновременно вычислим ток генератора I1

и распределение тока и напряжения вдоль линии. По закону Ома ток

I2 = U2 . Z н

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-202-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

3. Зависимость режима работы линии от нагрузки

I

Rг

1

 

 

2

I2

1

 

 

 

 

 

Ег

 

U1

 

 

U2

Zн

 

 

1

х

х

2

 

 

 

 

 

l

 

 

Рис. 30.4

Напряжение и ток на расстоянии х от начала линии

 

 

 

−γ x + A

e−γ x ;

U = A e

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

−γ x −

A2

e−γx .

I =

e

 

Z c

 

Z c

 

 

Заменим в этих уравнениях х на (l − x′), т. е. перенесем начало отсчета координаты х из начала линии в конец:

 

 

 

 

eγ(l −x′) ;

U = A e−γ(l−x) + A

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

A1

e−γ(l−x′) −

A2

e−γ(l−x′) .

I =

 

Z c

Z c

 

Обозначим A1e−γl = B1 , A2eγl = B2 ,

где B1 и B2 – новые постоянные интегрирования.

Тогда вместо x′ можно писать х без штриха, так как отсчет координаты х от начала или конца линии определяют по заданному режиму. Получим уравнения

U = B eγx + B e−γx;

 

 

B

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

γx

 

B

 

−γx

 

I =

1

 

e

 

−

2

e

 

.

 

 

 

Z c

 

 

Z c

 

 

 

 

 

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-203-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

3. Зависимость режима работы линии от нагрузки

Для конца линии ( x = 0, U =U2 , I = I2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

2

= B

+ B

;

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B1

 

 

B2

 

 

I2

=

−

 

;

 

Z c

 

 

 

 

Z c

 

 

 

I2 Z c = B1 − B2 .

Отсюда

 

 

 

 

 

U2 + Z c I2

 

 

 

 

U2 − Z c I2

 

 

 

 

 

 

 

 

B =

;

B =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, напряжение в линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

U2 + Z c I2

eγx +

U2 − Z c I2

e−γx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eγx +e−γx

 

 

 

 

eγx

−e−γx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=U

 

 

 

 

+ Z

c

I

 

 

 

 

 

 

 

=U

 

ñhγx + Z

c

I

shγx .

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичное уравнение можно получить и для тока:

I = I2ch γx + U2 sh γx .

Z c

Полученные уравнения позволяют определить напряжение и ток в любой точке линии при заданном режиме в конце линии.

Приняв x = l , получим уравнения линии в гиперболической форме, выражающие напряжение и ток в начале линии через напряжение и ток в конце линии:

 

 

=U2 с γlh+ Z c I2 sh γl;

U1

 

 

 

U

 

 

 

 

 

I1

= I2 ch γl +

2

sh γ l.

 

 

 

 

 

 

 

Z c

 

 

 

 

 

Если отсчет координат х будем проводить от начала линии, при заданных U1, I1 и x = 0 получим уравнения

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-204-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

3. Зависимость режима работы линии от нагрузки

 

 

 

 

 

U1 = A1 + A2 ;

 

 

A1

 

A2 .

I1

=

−

 

 

Z c

 

Z c

Из второго уравнения

Z c I1 = A1 − A2 .

Отсюда A

=

U1 + Z c I1

;

A

=

U1 − Z c I1

.

 

 

1

2

 

2

2

 

 

 

 

 

Подставив постоянные интегрирования, получим уравнения:

U =

U1 + Z cI1

e−γx +

U1 − Z cI1

eγx =U ch γ x − Z

I sh γ x ;

 

 

2

 

2

 

 

1

 

c 1

 

 

 

 

 

 

 

 

I = U1 + Z cI1 e−γx −U1 − Z cI1 eγx = I ch γ x −

U1

sh γ x .

 

 

2Z c

 

2Z c

 

1

Z c

 

 

 

 

 

Сведем их в систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =U1 ch γx − Z c I1 sh γx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

I = I1 ch γx −

1

sh γx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z c

 

 

 

Эта система позволяет определить напряжение и ток в любой точке линии, если задан режим работы на входе линии.

Если линия электропередачи работает на постоянном токе, т. е. ω= 0 , то между проводами линии и внутри проводов существуют постоянные магнитное и электрическое поля. ЭДС самоиндукции отсутствует, токи утечки между проводами отсутствуют.

Напряжение и токи совпадают по фазе. Характеристические параметры

являются действительными числами.

 

γ = α + jβ. Коэффициент фазы β = 0 ,

Коэффициент распространения

 

поэтому γ = α = R0G0 .

 

 

 

 

 

 

Волновое сопротивление Z

c

= Z

c

=

R0

= R .

 

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

G0

Расчеты проводят для действующих значений электрических величин. При заданном режиме в конце линии система уравнений, позволяющая

рассчитать напряжение и ток в любой точке, примет вид:

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-205-

ЛЕКЦИЯ 30. АНАЛИЗ ДЛИННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ

3. Зависимость режима работы линии от нагрузки

U =U

2 ch αx + Rc I2 sh αx;

 

 

 

 

U2

 

 

I = I

 

ch αx +

sh αx.

 

2

Rc

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросыдлясамопроверки

1.Что назвали первичными параметрами длинной волны?

2.Что назвали вторичными параметрами длинной волны?

3.Чему равен коэффициент распространения?

4.Чему равно характеристическое уравнение?

5.Что называют фазовой скоростью волны?

6.Что называют длиной волны?

7.Какова связь между длиной волны и фазовой скоростью?

Теоретические основы электротехники. Конспект лекций

-206-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности