ЛЕКЦИЯ 15 КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

План лекции

1. Основные понятия. Законы коммутации

2. Суть классического метода расчета переходных процессов 3. Подключение реального конденсатора к источнику постоянного на-

пряжения 4. Определение длительности переходного процесса

1.Основныепонятия. Законыкоммутации

Вповседневной жизни мы постоянно наблюдаем явления, которые показывают, что не во всех электрических цепях возможно мгновенное изменение режима работы. Например, телевизор или радиоприемник продолжают некоторое время работать после отключения от источника энергии.

Вшкольном курсе физики обычно демонстрируют следующий опыт.

Кисточнику энергии подключают две параллельные ветви, в одной из которых находится лампочка накаливания, в другой – лампочка накаливания и индуктивная катушка. После замыкания ключа первая лампочка загорается мгновенно, вторая – постепенно.

Эти опыты свидетельствуют о том, что в цепях с реактивными элементами невозможно мгновенное изменение режима работы. Ранее мы изучали установившиеся режимы. Если в электрической цепи есть конденсаторы и индуктивные катушки, то при переходе от одного установившегося режима

кдругому наблюдается переходный процесс. Сам процесс изменения режима работы цепи (включение или выключение рубильника) в электротехнике называют коммутацией.

Последовательность событий такова: установившийся режим → коммутация → переходный процесс → новый установившийся режим.

Переходные процессы подчиняются двум законам коммутации. Первый закон коммутации: ток в ветви с индуктивной катушкой не

может измениться скачком.

Принято считать, что коммутация происходит мгновенно во время t = 0. Поэтому при рассмотрении переходных процессов различают два нулевых момента времени: t = 0 −, когда коммутация еще не произошла, и t = 0 +после коммутации.

Тогда первый закон коммутации можно сформулировать следующим образом: ток в индуктивной катушке до коммутации равен току в момент, наступивший сразу после коммутации, т. е. iL (0−) = iL (0+) .

ЛЕКЦИЯ 15. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

1. Основные понятия. Законы коммутации

Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком.

Либо: uС (0−) = uС (0+) .

Можно дать энергетическое обоснование законов коммутации. Энергию магнитного поля индуктивной катушки определяют по формуле

Если ток iL изменится скачком, то и WM изменится скачком. Тогда

мощность магнитного поля катушки будет равна бесконечности, что невозможно, так как не существуют реальные источники энергии с бесконечно большой мощностью.

ком, РЭ = ∞, что невозможно.

Можно провести доказательства исходя из противного и на основании формул uL = L dditL , iС = C ddutС .

Изучение переходных процессов очень важно, так как они положены в основу принципа действия некоторых устройств и аппаратов. Быстродействие современных ЭВМ таково, что в них практически нет установившихся режимов.

Кроме того, во время переходного процесса могут возникать токи и напряжения большие, чем при установившемся режиме. Электрическая цепь, пригодная для номинального режима работы, может выйти из строя при подключении к источнику энергии.

2. Сутьклассическогометодарасчета переходныхпроцессов

Составим систему уравнений электрического состояния в дифференциальной форме для схемы замещения электрической цепи.

Как известно из математики, решение полученной системы линейных дифференциальных неоднородных уравнений есть сумма двух слагаемых: частного решения неоднородных уравнений и общего решения однородных уравнений.

В качестве частного решения берут принужденный режим, вызываемый внешними источниками энергии. Составляющие токов и напряжений, найденные в результате частного решения неоднородных уравнений, называют принужденными: iпр, uпр.

ЛЕКЦИЯ 15. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

2. Суть классического метода расчета переходных процессов

Общее решение однородного уравнения характеризует процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии. В учебниках и в лекциях можно встретить утверждение, что эти процессы происходят за счет энергии, запасенной в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора. Но это неверно, так как переходные процессы происходят и при отсутствии этих запасов энергии. Например, при подключении незаряженного конденсатора к источнику энергии.

Эти процессы происходят за счет изменения энергии магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора.

Составляющие токов и напряжений, найденные в результате общего решения однородных уравнений, называют свободными: iсв, uсв . Свободные

составляющие стремятся к нулю.

Классический метод расчета переходных процессов заключается в отыскании закона изменения любого тока и напряжения как суммы принужденной и свободной составляющих:

i = iпр +iсв; u = uпр +uсв.

Когда свободные составляющие станут равны нулю, переходный процесс закончится. Отсюда следует, что принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.

Далее рассмотрим классический метод расчета переходных процессов на ряде конкретных примеров.

3.Подключениереальногоконденсатора кисточникупостоянногонапряжения

Схема замещения рассматриваемой цепи приведена на рис. 15.1.

1. Составим систему уравнений электрического состояния. Так как схема одноконтурная, то можно написать только одно уравнение по второму закону Кирхгофа:

Ri + uС =U.

Рис. 15.1

В этом уравнении во время переходного процесса происходит изменение двух величин: тока i и напряжения на емкостном элементе uС . Напряжение uС подчиняется второму закону коммута-

ции, поэтому рационально выразить ток по закону Ома i = iС = C ddutС .

ЛЕКЦИЯ 15. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

3. Подключение реального конденсатора к источнику постоянного напряжения

Тогда уравнение примет вид

RC ddutС +uС =U.

2. Ищем решение этого уравнения как сумму двух слагаемых:

uС = uСпр +uСсв.

3. Найдем uСпр.

Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, поэтому принужденный режим рассмотрим как новый установившийся режим при t = ∞. Конденсатор постоянный ток не пропускает (iпр = 0), Riпр = 0. Отсюда

uСпр =U.

4. Вычислим uСсв . Из математики известно, что свободные составляющие меняются по экспоненциальному закону:

uСсв = Аеpt .

1. Определим показатель степени р, который является корнем характеристического уравнения.

Запишем уравнение электрического состояния для свободной составляющей:

RC dudСtсв + uСсв = 0 .

Производной экспоненты является сама экспонента. Так как функция сложная, дифференцируем еще и показатель степени.

электрического состояния получаем

RCpAe pt + Ae pt = 0.

Сократим на Ae pt :

RCp +1 = 0.

Сравнив уравнение электрического состояния с характеристическим, делаем вывод: для получения характеристического уравнения в уравнении электрического состояния правую часть нужно приравнять к нулю, перемен-

ЛЕКЦИЯ 15. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

3. Подключение реального конденсатора к источнику постоянного напряжения

щая изменяется по закону экспоненты и стремится к нулю. В начальный момент uСсв(0+) = −U .

t

uCсв

-U

Рис. 15.2

График подтверждает, что напряжение на конденсаторе меняется плавно, что принужденный режим – это новый установившийся режим после переходного процесса.

График изменения тока представлен на рис. 15.3.

iC

U

R

t

Рис. 15.3

При t = 0– тока не было, при t = 0+ ток iС = UR , далее он стремится к

нулю по закону экспоненты.

Графики будут меняться при изменении параметров схемы R и С. Величина напряжения от них не зависит. Величина тока обратно пропорциональна сопротивлению R и не зависит от емкости С. Длительность переходного процесса прямо пропорциональна значениям R и С.

4. Определениедлительности переходногопроцесса

Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Практически переходный процесс заканчивается через (3–5) ф.

ЛЕКЦИЯ 15. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

4. Определение длительности переходного процесса

Постоянная времени ф – это время, в течение которого свободные составляющие уменьшаются в е раз (см. рис. 15.4).

iсв

ф – это величина подкасательной к любой точке экспоненты (см. рис. 15.5).

iсв

Рис. 15.5

Поэтому можно определить постоянную времени по известному графику изменения свободной составляющей и неизвестных параметрах схемы.

Длительность переходного процесса, зависящая от параметров, может быть различной.

Если в схеме замещения R = 100 Ом, С = 100 мкФ, то при замыкании ключа конденсатор заряжается с постоянной времени τзар = 0,01 с. При раз-

мыкании ключа конденсатор будет разряжаться с τраз ≈ 28часов, т. е. кон-

денсатор будет сохранять напряжение на своих обкладках несколько суток и представлять собой опасность. Поэтому после окончания работы с конденсатором нужно использовать разрядное устройство.

ЛЕКЦИЯ 15. КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Вопросыдлясамопроверки

1.Какие законы коммутации вы знаете?

2.Как доказывают законы коммутации?

3.В чем суть классического метода расчета переходных процессов?

4.За счет чего возникают принужденные составляющие токов и напряжений?

5.Какие процессы характеризует общее решение однородного урав-

нения?

6.По какому закону меняются свободные составляющие?

7.Как составить характеристическое уравнение для неразветвленной

цепи?

8.Сколько длится переходный процесс?

9.Каков физический смысл постоянной времени ф?

10.Как графически определить постоянную времени ф?