непроизводственной сферы, станет стимулятором увеличения количества рабочих мест в отраслях, а также на предприятиях инфраструктуры туристического бизнеса.
Литература
1.Федеральная служба государственной статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.gks.ru/.
2.Министерство спорта, туризма и молодежной политики Российской Федерации [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://govweb.ru/.
3.Федеральное агентство по туризму Министерства культуры Российской Федерации [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.russiatourism.ru/.
4.Официальный сайт администрации Приморского края [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://primorsky.ru/.
5.http://primorsky.ru/authorities/executiveagencies/departments/tou rism /tour-operators.php.
Артем Андреевич Красулин
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова e-mail: a.a.krasulin@gmail.com
Научный руководитель: И.В. Трегуб, д-р экон. наук, канд. техн. наук, проф.
Изучение случайных процессов с применением моделей временных рядов
Случайные процессы достаточно часто встречаются в окружающем нас мире. Их можно обнаружить во многих областях науки и техники. Наиболее интересно рассмотрение стохастических процессов в физике и экономике, где они играют существенную роль. Так, например, во многих оптических системах, детерминированный сигнал, проходящий через неоднородную среду, на выходе имеет стохастическую модуляцию (амплитудную, фазовую или частотную).
202
Вэкономике случайные процессы встречаются так же часто, как и
вфизике. Особый интерес представляет изучение цен акций на финансовых рынках, динамику которых можно прогнозировать при
помощи моделей временных рядов. Рынки обеспечивают перераспределение капитала между отраслями. Кроме того, по индикаторам финансовых рынков можно оценить состояние экономики в целом. В связи с этим тема научной работы, посвященная изучению случайных процессов с применением моделей временных рядов, весьма актуальна.
Целью работы является построение моделей цен акций российских компаний банковского сектора для изучения случайных процессов на финансовых рынках.
Теория авторегрессионных моделей
Случайный процесс – это такой процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая, причем вероятность того или иного течения определена.
Для описания поведения и прогнозирования случайных процессов в данной работе используется модели временных рядов, теоретические основы и практические примеры применения которых представлены в трудах [2,3].
Такие модели могут иметь различные формы и представлять различные стохастические процессы. При моделировании можно выделить три класса, имеющих практическую ценность: авторегрессионные модели, интегральные модели и модели скользящего среднего. Во всех приведенных выше типах моделей данные временного ряда зависят от предыдущих значений. На их основе построены модели авторегрессионного скользящего среднего
(Autoregressive Moving Average, ARMA) и авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (Autoregressive Integrated Moving Average, ARIMA) [1, 2, 3].
В настоящей работе используется модель ARIMA(p,d,q). Изложим кратко теоретическую основу построения данной модели.
Модель ARIMA получается путем d кратного интегрирования модели авторегрессии - скользящего среднего (ARMA(p,q)).
Yt = Ф1Yt-1 + Ф2Yt-2 + …+ ФpYt-p + et - Θ1et-1 + Θ2et-2 + …+Θqet-q,
203
где p – порядок модели авторегрессии AR(p), а q – порядок модели скользящего среднего MA(q). Разность порядка d ряда {Хt} вычисляется по формуле
Wt≡ dYt = (1 - B)dYt = (∑d (−1) j Свj Вj ) Yt = ∑d (−1) j СвjYt− j .
j=0 |
j=0 |
Полученная модель универсальна: она может быть применена как к стационарным временным рядам (d=0), так и к нестационарным временным рядам.
Построение модели авторегрессии
1. Идентификация модели
•Получение стационарного ряда, построение ACF и PACF функций.
•Построение гипотез на основе ACF и PACF о возможных порядках авторегрессии (p) и скользящего среднего (q).
2.Оценка модели и проверка адекватности модели
•Для модели оцениваются параметры и вычисляются остатки.
•Проведение тестов: Акаике, Шварца.
3.Прогнозирование
•На основе построенной модели и оценках параметров строится прогноз.
Практическое применение модели ARIMA (p,q,r) для акций компаний банковского сегмента
Данными для построения моделей являются цены акций ММВБ за годовой период, взятые с сайта компании «Финам». Для краткости изложения, в работе будут приведены не все этапы моделирования.
Сбербанк
Построим модель ARIMA для данной компании. Как видно из коррелограммы, ACF экспоненциально затухает, а PACF имеет выброс лишь при сдвиге по времени, равном единице. Таким образом, текущий временной ряд хорошо прогнозируется при помощи модели ARIMA (1,0,0).
204
Рис. 1. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции
Исходя из результатов оценки модели, уравнение авторегрессии можно представить следующим образом:
Yt = 0,9988 Yt−1 +εt
Далее построим ряд значений по модели ARIMA(1,0,0) и сравним с изменением реальных цен.
Рис. 2. График изменения стоимости акций Сбербанка
205
Из графика видно, что значения модели близки к реальным данным, а параметры функции остатков близки к белому шуму.
Построим прогноз на краткосрочный период.
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
Прогнозирование динамики акций Сбербанка |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Реальные |
|
Ошибка |
Доверительные |
|
|
|
Прогноз, |
интервалы, руб. |
|
|||
Период |
значения, |
прогноза, |
|
|||
руб. |
|
|
|
|||
Левая |
Правая |
|
||||
|
руб. |
|
% |
граница |
граница |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
76,97 |
71,60 |
6,96 |
67,06 |
76,15 |
|
2 |
81,43 |
71,46 |
12,24 |
72,27 |
81,36 |
|
3 |
80,83 |
71,32 |
11,76 |
76,72 |
85,81 |
|
4 |
79,50 |
71,17 |
10,46 |
76,13 |
85,21 |
|
5 |
78,47 |
71,03 |
9,47 |
74,8 |
83,88 |
|
Обратим внимание на реальные данные и границы доверительных интервалов. Для первых двух периодов реальные данные выходят за рамки доверительных интервалов, а для 3–5 периодов данные находятся внутри границ доверительных интервалов.
Модель ARIMA не прогнозирует резкие скачки цен, а может быть использована только для тех случаев, когда цена акции зависит только от своих предыдущих значений, и не зависит от остальных макро- и микроэкономических параметров.
Исходя из этого, можно сказать, что после резкого скачка на финансовом рынке модель самонастроилась, как видно из ее адекватности для дальнейших трех периодов. Кроме того, как видно из прогноза, модель адекватно прогнозирует краткосрочные периоды. Так, прогноз на первый период достаточно адекватен. Дальше идет увеличение ошибки прогноза и несоответствие реальным данным. Как видно из графика стоимости акций Сбербанка (рис. 2), в настоящее время происходит резкий скачок цен акций данной компании. Кроме того, в функции остатков, имеющей вид белого шума, виден резкий выброс, что говорит о не прогнозируемости
206
рынка в данный временной период. Для достоверного применения данной модели необходимо дождаться стабилизации финансового рынка.
Росбанк
Рис. 7. Автокорреляционная и частная автокорреляционная функции
Для данной компании временной ряд описывается такой же моделью ARIMA(1,0,0).
Уравнение авторегрессии для Росбанка имеет вид:
Yt = 0,9964 Yt−1 +εt
Для данной компании модель ARIMA прогнозирует цены закрытия акций наилучшим образом, так как исходя из графика изменения стоимости акций данной компании, в последние временные периоды не происходит резких изменений цен, а ряд является стационарным. Именно поэтому модель ARIMA дает наилучшие прогнозные оценки.
207