Формула полной вероятности. Формулы бейеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий,, …,, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности,, …,события. В поставленных условиях вероятность событияможно найти по формуле:

;

формулу называют формулой полной вероятности;

события ,, …,называютгипотезами.

Пример 1. На контроль поступают детали с двух станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют всех деталей, на втором –. Вероятность брака на первом станке, на втором –. Найти вероятность того, что поступившая на контроль деталь бракованная.

Решение. Событие – поступившая на контроль деталь бракованная.

и – события означающие, что деталь сделана соответственно на первом и втором станке.

Тогда по условию задачи:

.

Искомая вероятность:

.

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез),, …,, которые образуют полную группу. Если событиеуже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса:

,

где – находят по формуле полной вероятности.

Пример 2. В условиях примера 1, проверенная деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она была изготовлена на первом станке.

Решение. Искомая вероятность – вероятность, что деталь изготовлена на первом станке, при условии, что уже известно, что деталь бракованная.

По формуле Бейеса:

.

Из примера 1: ;;.

Искомая вероятность:

.

Повторные независимые испытания. Испытания по схеме бернулли

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений событияв результате определенного количества испытаний.

Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна.

Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называютиспытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияпостоянна и равна. Требуется найти вероятностьтого, что приповторных испытаниях событиепроизойдетраз.

В зависимости от значений изадача предложенного типа решается по различным формулам.

• Если , то используютформулу Бернулли:

,

где –вероятность ненаступления событияв каждом испытании.

• Если и, то используютлокальную теорему Лапласа:

,

где ,.

Значения находят по таблице приложения 1. Функциячетная, т.е., таблица содержит значения функциилишь для; приможно принять.

• Если и, (либо), то используютформулу Пуассона:

,

где ;.

Пример. Вероятность появления события в каждом из 7 независимых испытаний постоянна и равна. Определить вероятность того, что:

1. Событие наступит ровно 5 раз;

2. Событие наступит не менее 5 раз.

Решение. По условию ;. Т.о. для решения задачи используют формулу Бернулли.

1. Вероятность того, что событие наступит 5 раз:;.

Искомая вероятность:

.

2) Событие наступит не менее 5 раз (следовательно, событиенаступитили 5 раз, или 6 раз, или 7 раз). Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Бернулли:

.

;

;

.

Искомая вероятность:

.

Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из 1000 посеянных семян взойдут 780,

Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна. Количество посеянных семян (общее количество испытаний). Т.к.и, то используем локальную теорему Лапласа:

, где ;

; .

Откуда .

По таблице значений функции (приложение 1), учитывая четность функции, найдем:

.

Искомая вероятность:

.

Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие, постоянна и равна . Найти вероятность того, что из 400 произведенных станком изделий:

1. ровно 3 бракованных;

2. не менее 3 бракованных.

Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний). Т.к.и, то используем формулу Пуассона:

, где .

1) Среди изготовленных изделий ровно 3 бракованных: ;

.

Искомая вероятность:

.

2) Для определения вероятности того, что среди изготовленных деталей не менее 3 бракованных, целесообразно найти вероятность противоположного события: среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных.

.

Событию, среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных, благоприятны исходы: 0 бракованных деталей, или 1 бракованная деталь, или 2 бракованных детали.

Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Пуассона, найдем вероятность того, что среди изготовленных деталей меньше 3 бракованных:

.

;

;

.

Следовательно,

.

Искомая вероятность:

.

Наивероятнейшим числом появления события внезависимых испытаниях называют такое число, для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события.

Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления событияв отдельном испытании.

Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство:

.

Следует иметь в виду, что:

1. если – целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно:и;

2. если – дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;

3. если – целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно:.

Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий, если вероятность качественного изделия равна .

Решение. По условию ,; следовательно.

Используя неравенство:

,

имеем

;

откуда

.

Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из 300 изделий равно .

Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияпостоянна и равна. Требуется найти вероятностьтого, что приповторных испытаниях событиепроизойдет не менее раз и не болеераз. Это можно сделать с помощьюинтегральной теоремы Лапласа:

,

где ,;

. Значения находят по таблице приложения 2. Функциянечетная, т.е., таблица содержит значения функциилишь для; дляможно принять.

Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, равна . Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 140 до 200 деталей.

Решение. По условию ,,,, следовательно,.

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где ,;

найдем

;

.

По таблице значений функции (приложение 2), учитывая нечетность функции, найдем:

;

.

Искомая вероятность:

.