3. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса

Запишем квадратурное правило для равноотстоящих узлов:

, (6)

где .

При заданных значениях n коэффициенты принимаю следующие значения:

Замечание: предпочтительно использовать формулы Ньютона – Котеса с малыми значениями n, а для уменьшения погрешности результата отрезок разбивается на достаточно большое число интервалов, и к каждому из них применяют квадратурную формулу с малым числом узлов, затем результаты складывают.

4. Квадратурная формула Гаусса

Пусть функция y=f(x) задана на промежутке [-1,1]. Нужно подобрать узлы квадратурного правила и коэффициенты так, чтобы квадратурная формула

(13)

была точной для всех полиномов f(x) наивысшей степени m=2n-1, т.к. имеем 2m неизвестных , а полином степени 2n-1 определяется 2n коэффициентами. Остаточный член обращается в нуль, когда , где С_i=const, i=0,,m. Тогда

Учитывая соотношение: , получаем систему 2n уравнений относительно : (14)

Система (14) нелинейная, и ее исследование громоздко. Поэтому воспользуемся теоремой:

для того чтобы квадратурная формула (13) интерполяционного типа была точна для всех многочленов степени не выше 2n-1, необходимо и достаточно, чтобы ее узлы x_j были корнями многочлена _n(x), ортогонального на [-1;1] к любому многочлену степени не выше n.

Ортогональную систему многочленов, имеющих n различных действительных корней на [-1;1], образуют многочлены Лежандра

(15)

Итак, в квадратурной формуле с n узлами, имеющей наивысшую степень точности 2n-1, узлы x_j, j=1,...,n являются корнями многочлена Лежандра n-й степени, а из системы (14), зная x_j, легко найдем А_j.

Для произвольного интервала [a,b] сделаем замену . В этом случае формула Гаусса примет вид

.

5. Метод Монте-Карло

Методы решения задач, использующие случайные величины, называются методами Монте-Карло.

Пусть методом Монте-Карло требуется вычислить m-кратный интеграл

, (17)

где функция f(x₁,...,x_m) задана в ограниченной замкнутой области S, а эта область заключена в m-мерном параллелепипеде . Для преобразованияm-мерного параллелепипеда в m-мерный единичный куб сделаем замену переменных следующего вида: , при этом 0_j1. Якобиан этого преобразования

Тогда интеграл (17) перепишется в виде

, (18)

где , – новая область интегрирования, лежащая внутри m-мерного единичного куба.

Выберем m равномерно распределенных на [0,1] последовательностей случайных чисел ;, . Точкиможно рассматривать как случайные точки изm-мерного единичного куба. Будем считать, что n случайных точек принадлежат области , а (N – n) точек не принадлежат ей.

Если взять достаточно большое число n точек из области , то приближенно можно считать

, (19)

тогда выражение (18) можно переписать в виде

, (20)

здесь  – объем области интегрирования. Если вычисление объема затруднительно, то можно считать, что , тогда

.

Часть 5.

1. Необходимое условие экстремума

Это условие совершенно аналогично необходимому условию экстремума функции одной или нескольких переменных. Допустим, что некоторая функция реализует локальный максимум или минимум функционала I{у} в выбранном функциональном пространстве (R), причем этот функционал имеет вариацию , т. е. допускает вблизи линеаризацию. Кроме того, будем считать, что рассматривается внутренний (не граничный) экстремум, т.е. функционал I{у} определен для всех у, достаточно близких к в смысле выбранной нормы; это будет предполагаться всюду далее, если не оговорено противоположное.

Тогда для любой должно быть

. (18)

В самом деле, пусть для определенности при функционалI имеет минимум и >0 для некоторой. Подставим в (12) kδy вместо δу, где k - скаляр: получим

Однако при малых |k| левая часть должна быть положительной, а правая имеет знак k, т.е. может быть как больше нуля, так и меньше нуля. Полученное противоречие и доказывает необходимость условия (18).

Как видно из описания постановок задач вариационного исчисления в конкретных задачах часто рассматривается экстремум функционала не среди всех функций, составляющих определенное функциональное пространство, а только среди функций, удовлетворяющих некоторым добавочным линейным неоднородным условиям, например

. (19)

В этом случае условие (18) должно выполняться для любой вариации δу, удовлетворяющей соответствующим однородным условиям, т.е. для условий (19)

, .

В самом деле, для таких δу функция y+kδy также удовлетворяет условиям (19), а потому можно повторить то же доказательство, что было приведено выше для (18).

Линейные неоднородные условия определяют в пространстве (R) гиперплоскость (речь идет о гиперплоскостях в бесконечномерном функциональном пространстве). Если ставится задача об экстремуме функционала на некотором криволинейном многообразии (S) пространства (R), то, проводя линеаризацию в точке экстремума, получим, что условие (18) должно выполняться для любой y, принадлежащей касательной гиперплоскости к (S), проведенной в точке экстремума.

Уравнение Эйлера

Во многих задачах удается, пользуясь необходимым условием экстремума, найти искомое решение у(x). Однако форма (18) этого условия не совсем удобна, так как она включает в себя произвольную функцию δу. Поэтому необходимое условие преобразуют к другой, равносильной форме, содержащей только искомое решение. Такое преобразование различно для разных классов функционалов, и дальнейшее содержание в основном посвящено рассмотрению этих классов. Необходимое условие, получающееся для решения, обычно состоит из двух частей: из уравнения Эйлера (обычно дифференциального), которому решение должно удовлетворять внутри области своего определения, и из добавочных граничных условий, которые могут быть частично заданы заранее, а частично – выведены из условия (18).