4. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование

Иногда, интерполирование по всей совокупности точек бывает недостаточным. В этих случаях можно воспользоваться объединением фрагментов графиков полиномов низкой степени и интерполированием между последовательными узлами. Самый простой в использовании полином первой степени. Он создает ломаную, состоящую из отрезков, которые проходят через две точки. Чтобы представить эту кусочно-линейную кривую, используется полином Лагранжа

или формула угла наклона отрезка линии в точке

где – линейный сплайн на отрезке [x_k₊₁, x_k], y_k – заданное значение функции, полученное экспериментально в заданных узлах. Аналогично можно построить кусочно-квадратичный полином.

5. Суть процедуры сглаживания состоит в подмене данной функции на каждом из рассматриваемых отрезков наилучшим линейным среднеквадратичным приближением.

На первом этапе для таблично заданной функции найти такую функцию S(x), составленную из линейных функций , чтобыдля всехх в смысле минимума квадрата отклонений, т.е. . В результате решается задача нахождения коэффициентовa_i, b_i методом наименьших квадратов:

Второй этап состоит в пересчете данной таблицы для. Доопределим новую табличную функцию значениямии. В результате этого получаем новую табличную функцию, в которой сохраняется характер поведения исходной функции. Описанная процедура называется осреднением по трем точкам и является простым частным случаем линейного фильтра.

6. Леммы о сплайнах.

Смыкающий (чертежный) сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который имеет первую производную с граничными условиями ,, т.е. смыкающий сплайн имеет определенный наклон в крайних точках.
Естественный сплайн. Существует единственный кубический сплайн со свободными граничными условиями ,, т.е. сплайн допускает свободный наклон на краях для обеспечения положения, которое минимизирует осцилляцию кривой.
Экстраполяционный сплайн. Существует единственный кубический сплайн, который используется для экстраполирования по внутренним узлам, чтобы определить по узламх₁, х₂ и по узлам х_N_-1, х_N_-2.
Сплайн, заканчивающийся параболой. Существует единственный кубический сплайн, такой, что на интервале [x₀, x₁] и на интервале [x_N_-1, x_N].
Сплайн с заданной кривизной в крайних точках. Существует единственный кубический сплайн с заданными значениями второй производной в крайних точках.

Часть 4.

. (1)

Формула (1) называется формулой механических квадратур, – квадратурной суммой,А_j – квадратурными коэффициентами, х_j – узлами или абсциссами квадратурного правила.

Остаточным членом квадратурного правила называется величина

2. Пусть заданы значения подынтегральной функции f(x) в точках x₀, x₁, , x_n принадлежащих [a,b], тогда для f(x) строят интерполяционный многочлен Лагранжа n-ой степени, т.е.