1.4. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
Множества вместе
с определенными на них операциями
образуют алгебру
множеств.
Последовательность выполнения операций
задается с помощью
формулы алгебры множеств.
Например,
(ВC),
(А
\ В)
+ C
– формулы алгебры множеств.
Основные тождества алгебры множеств
Для любых множеств A, B, C справедливы следующие тождества:
1. Коммутативность.
а) A B = B A (для объединения);
б) A B = B A (для пересечения).
2. Ассоциативность.
а) A (B C) = (A C) C (для объединения);
б) A (B C) = (A B) C (для пересечения).
3. Дистрибутивность.
а) A (BC) = (AB) (AC) (для объединения относительно пересечения);
б) A(BC) = (AB)(AC) (для пересечения относительно объединения).
4. Закон де Моргана.
а)
=
(дополнение к объединению есть пересечение
дополнений);
б)
=
(дополнение
к пересечению есть объединение
дополнений).
5. Идемпотентность.
а) A A = A (для объединения);
б) A A = A (для пересечения).
6. Поглощение.
а) A (A B) = A;
б) A (A B) = A.
7. Расщепление (склеивание).
а) (A
B)
(A
)
=A;
б) (A
B)
(A
)
=A.
8. Двойное дополнение.
= A.
9. Закон
исключенного третьего.
A
=U.
10. Операции с пустым и универсальным множествами.
а) A U = U;
б) A = A;
в)
A
U
=
A;
г) A = ;
д)
=U;
е)
=.
11. А
\ В
= A
.
Чтобы доказать некоторое тождество A = B, нужно доказать, что, во-первых, если x А, то xВ и, во-вторых, если xВ, то x А. Докажем таким образом, например, свойство дистрибутивности для объединения (тождество 3а)):
A (BC) = (AB) (AC).
1. Сначала предположим, что некоторый элемент x принадлежит левой части тождества, т.е. x A (BC), и докажем, что x принадлежит правой части, т.е. x(AB) (AC).
Действительно, пусть x A (BC). Тогда либо x A, либо x BC. Рассмотрим каждую из этих возможностей.
Пусть x A. Тогда x A B и x A C (это верно для любых множеств B и C). Следовательно, x(AB) (AC).
2. Предположим, что некоторый элемент x принадлежит правой части тождества, т.е. x (AB) (AC), и докажем, что x принадлежит левой части, т.е. x A (BC) .
Действительно, пусть x (AB) (AC). Тогда xAB, и одновременно x AC. Если x AB, то либо x A, либо x B, если .x AC, то либо x A, либо x C. Пусть x A, Тогда x A (BC) и утверждение доказано. Если x A, то одновременно должны выполняться условия x B и x C, т.е. x BC. Но тогда x BC и x A (BC), что также доказывает наше утверждение.
Доказательство тождеств можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна.
Основные тождества алгебры множеств можно использовать для доказательства других тождеств.
Пример 1.14.
Доказать тождество
(AB)
\ В
= A
.
Преобразуем левую часть тождества, используя тождество 11:
(AB)
\ В
= (AB)
.
Затем используем закон дистрибутивности (тождество 3б):
(AB)
=A
B
.
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
B
=
.
Получим
A
B
=
A
.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A
= A
.
Тождество доказано.
Пример 1.15.
Доказать тождество:
A \ (В \ C) = (A \ В) (A C).
Множества, стоящие в левой и правой частях тождества, изобразим с помощью диаграмм Эйлера – Венна (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Рис. 1.2б) и рис. 1.2д) иллюстрируют равенство множеств A \ (В \ C) и (A \ В) (A C).
Докажем тождество из нашего примера, воспользовавшись тождествами:
А
\ В
= A
,
=
,
=A,
A(BC)
= (AB)(AC).
Получим:
A
\ (В
\
C)
= A
= A
= A
(
)
=A
(
C)
= (A
)
(A
C)
= (A
\ В)
(A
C).
Основные тождества алгебры множеств можно также использовать для упрощения формул алгебры логики.
Пример 1.16.
Упростить выражение:
(AB)
(
B)
(A
).
Используя закон коммутативности (тождество 1б), поменяем местами вторую и третью скобки:
(AB)
(
B)
(A
)
= (AB)
(A
)
(
B).
Применим закон расщепления (тождество 7а) для первой и второй скобок:
(AB)
(A
)
(
B)
= A
(
B).
Воспользуемся законом дистрибутивности (тождество 3б):
A
(
B)
= A
A
B.
Используем закон исключенного третьего (тождество 9):
A
=
.
Получим
A
A
B
=
A
B.
Используем свойство пустого множества (тождество 10б):
A B = A B.
Итак,
(AB)
(
B)
(A
)
= A
B.