- •Тема 1. Множества
- •1.1.Основные понятия
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Венна
- •1.4. Алгебра множеств. Основные тождества алгебры множеств
- •Основные тождества алгебры множеств
- •1.5. Эквивалентность множеств
- •1.6. Счетные множества
- •1.7. Множества мощности континуума
- •Контрольные вопросы к теме 1.
1.2. Операции над множествами
Рассмотрим основные операции над множествами.
Объединением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множеств А или В:
АВ = {x x А или xВ}.
Из определения следует, что А АВ и В АВ.
Аналогично определяется объединение нескольких множеств
Пример 1.8.
а) Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.
Тогда АВ = {2, 4, 5, 6}.
б) Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3:
А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.
Тогда АВ множество чисел, которые делятся на 2 или на 3:
АВ = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …}.
Пересечением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В:
АВ = {x x А и xВ}.
Из определения следует, что АВ А, АВ В и АВ АВ.
Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.
Пример 1.9.
Рассмотрим данные из примера 1.8.
а) Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.
Тогда АВ = {4, 6}.
б) Пусть А – множество чисел, которые делятся на 2, а В – множество чисел, которые делятся на 3:
А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.
Тогда АВ множество чисел, которые делятся и на 2 и на 3:
АВ = {6, 12, 18, …}.
Может оказаться, что множества не имеют ни одного общего элемента. Тогда говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.
Пример 1.10.
Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}, C = {3, 4}.
Тогда АВC =.
Относительным дополнением множества В до множества А называется множество А \ В, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В:
А \ В = {x x А и xВ}.
Пример 1.11.
Рассмотрим данные из примера 1.8.
а) А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.
А \ В = {4, 5}, В \ А= {2}.
б) А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}.
Тогда А \ В – множество чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, а В \ А – множество чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2:
А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}.
В \ А= {3, 9, 15, 21, 27, …}.
Симметрической разностью множеств А и В называется множество А + В:
А + В = (А \ В) (В \ А).
Пример 1.12.
Рассмотрим данные из примера 1.11.
а) А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}.
А \ В = {4, 5}, В \ А= {2}, А + В = {2, 4, 5}.
б) А = {2, 4, 6, …}, В = {3, 6, 9, …}, А \ В = {2, 4, 8, 10, 14, …}.
В \ А= {3, 9, 15, 21, 27, …}, А + В = {2, 3, 4, 8, 9, …}.
Универсальным множеством называется такое множество U, что все рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами.
Абсолютным дополнением множества А называется множество всех таких элементовx U, которые не принадлежат множеству А: =U \ A.
Пример 1.13.
Пусть А – множество положительных четных чисел.
Тогда U – множество всех натуральных чисел и - множество положительных нечетных чисел.
1.3. Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Венна
Для наглядного представления множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).
Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга (рис 1.1а)).
С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами.
Рис.1.1