Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла

Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке 48, вычисляется по формуле

= (2)

Рисунок 48

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 3, x = 0.

Решение

Изобразим данную плоскую фигуру (рисунок 49).

Рисунок 49

По формуле (2) имеем

|=

Тест 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

1) 1;

2) 2;

3) 1,5;

4) 0,5;

5) 2,5.

Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции (рисунок 50), вычисляется по формуле

(3)

Рисунок 50

Пример 3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 3 вокруг оси Ox.

Решение

Вычертим данную фигуру (рисунок 51).

Рисунок 51

По формуле (3) будем иметь

|=

Тест 3. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x³, y = 0, x = 1 вокруг оси Ox:

1)

2)

3)

4)

5)

Применение определенного интеграла в экономике

Эти применения носят различный характер. Например, если известна функция затрат f(t) предприятия на содержание управленческого аппарата в зависимости от времени за период, то средние затраты за период времени [a; b] могут быть определены по формуле

(4)

Пример 4. Найти средние затраты Р предприятия на содержание управленческого аппарата за период если эти затраты зависят от времениt по закону

Решение

По формуле (4) имеем

|== 14.

Тест 4. Найти средние затраты Р предприятия на содержание управленческого аппарата за период времени если затраты зависят от времениt по закону f(t) = 4 + 2t:

1) 7;

2) 6;

3) 9;

4) 8;

5) 10.

Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла

Длина l дуги кривой y = f(x), a  x  b вычисляется по формуле

(5)

Пример 5. Найти длину дуги кривой при

Решение

Находим производную и подставляем ее значение в формулу (5)

|= =

Тест 5. Найти длину дуги кривой при

1)

2)

3)

4)

5)

1  – эпсилон

2  – дельта

1Огюстен Луи Коши (1789–1857) – французский математик

2