Интегрирование способом подстановки

Суть этого метода заключается в следующем: так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы полученный интеграл стал табличным или более простым.

Если – любой из известных нам интегралов, то вместо переменнойв левую и правую части записанного равенства мы можем подставить другую переменнуюu = (x), являющуюся дифференцируемой функцией от x. При этом также получим истинное равенство илиНаdu будем смотреть как на дифференциал функции u = j(x), который будем вычислять по формуле

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение

Введем новую подстановку, положив u = 5x + 4, du = (5x +4)dx = = 5dx, Внеся эти выражения в данный интеграл и сделав обратную замену, получим

Тест 3. Найти неопределенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 4. Определить число в интеграле

Решение

Вычислим интеграл в левой части этого равенства, положив u = 3x.

Тогда откудаи

= Отсюда

Тест 4. Определить число в интеграле

1)

2)

3)

4)

5)

Пример 5. Среди множества всех первообразных в неопределенном интеграле найти такую первообразнуюF(x), что

Решение

Определим вначале значение этого интеграла

4–2+С.

Среди множества всех первообразных выберем такую, которая удовлетворяет условию Должно выполняться равенствооткудаC = 9.

Тест 5. Среди множества всех первообразных в неопределенном интеграле найти такую первообразнуюF(х), что F(4) = 6:

1)

2)

3)

4)

5)

Интегрирование по частям

Теорема. Пусть функции u и v определены и дифференцируемы на некотором отрезке [a; b], тогда имеет место равенство

Данная формула называется формулой интегрирования по частям.

Пример 6. Найти неопределенный интеграл

Решение

Полагаем: u = ln x, тогда илиотсюдаилиПо формуле интегрирования по частям имеем

Тест 6. Найти неопределенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5)

Ответы на тестовые задания

Номер теста	1	2	3	4	5	6
Правильный ответ	2	2	3	5	4	1

2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f(x) задана на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n произвольных частей точками

Точки, разделяющие отрезок [a; b] на частичные отрезки длинойбудем называтьточками разбиения. Выберем в каждом из частичных отрезков [x_i; x_i+1] произвольную точку _i, i =

Образуем сумму произведений

которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b]. Геометрический смысл величины  показан на рисун- ке 47: это сумма площадей прямоугольников с основанием и высотами

Рисунок 47

Обозначим через  длину максимального частичного отрезка данного разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, т. е.

Конечный предел I интегральной суммы при0, если он существует, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a; b]:

(1)

Определенный интеграл обозначается при помощи символа

Если определенный интеграл (1) существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], числа а и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливает формула Ньютона-Лейбница

|=

где F(x) – одна из первообразных для подынтегральной функции f(x).

Пример 1. Найти определенный интеграл

Решение

Находим неопределенный интеграл, полагая C = 0. Имеем

Вычисляем приращение найденной первообразной

|=

Краткая запись: |=

Тест 1. Найти определенный интеграл

1)

2)

3)

4)

5) 43.