Необходимые условия экстремума

Если точка M₀(x₀;y₀)является точкой локального экстремума функции f(x; y), то ее частные производные в этой точке равны нулю

или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными, или точками возможного экстремума.

Пример 22. Найти стационарные точки функции

Решение

Вычислим частные производные по x и y

Приравняем их к нулю

Итак, точка M₀(–4; 1) является стационарной для данной функции.

Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Достаточные условия экстремума

Пусть в стационарной точке (x₀; y₀) и некоторой ее окрестности функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (x₀; y₀) значения

Обозначим:

Тогда:

1) если   0, то функция z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) имеет экстремум:

 локальный максимум, если А  0 (или С  0);

 локальный минимум, если А  0 (или С  0);

2) если   0, то функция z = f(x; y) в точке (x₀; y₀) экстремума не имеет;

3) если  = 0, то экстремум в точке (x₀; y₀) может быть, может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на локальный экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные функции и

2. Решить систему уравнений и найти стационарные точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример 23. Исследовать на экстремум функцию

Решение

1. Находим частные производные

2. Находим стационарные точки функции из системы

Итак, (0; 2) – единственная стационарная точка.

3. Находим частные производные второго порядка

Имеем

Так как   0, функция имеет экстремум, причем A = 2  0, следовательно, это локальный минимум.

4. Находим минимум функции

Тест 14. Пусть то функцияf(x; y) в точке M(x; y) имеет локальный максимум, если:

1)

2)

3)

4)

5)

Условный экстремум

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x; y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию (x; y) = 0.

Экстремум функции z = f(x; y), найденный при условии j(x; y) = 0, называется условным. Уравнение j(x; y) = 0 называется уравнением связи.

Если из уравнения связи j(x; y) = 0 найти y = y(x) и подставить в функцию z = f(x; y), то задача отыскания условного экстремума сводится к нахождению экстремума функции одной переменной z = f(x; y(x)).

Пример 24. Найти экстремум функции z = x ² – y ² при условии, что 2x – y – 6 = 0.

Решение

1. Из уравнения связи

2. Подставив в данную функцию, получим функцию одной переменной x

3. Находим

т. е. –6х + 24 = 0, х = 4.

Тогда

Итак, M(4; 2) – стационарная точка.

4. Так как то в точкеM(4; 2) данная функция достигает условного максимума.

5.