Частные производные и дифференциал функции

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Для функции имеем:

 (частная производная по переменной х);

 (частная производная по переменной y).

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной надо считать постоянной переменнуюy, а для нахождения – переменнуюx.

При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.

Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответ- ствующих независимых переменных, т. е.

Для независимых переменных x и y любые приращения x и y будем считать их дифференциалами, т. е. и

Тогда полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по следующей формуле:

а для функции трех переменных u = f(x; y; x):

Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функции, т. е.

Существование частных производных является лишь необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.

Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема. Для того чтобы функция z = f(x; y) была дифференцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Пример 11. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции

Решение

Считая постоянным, найдем производную поx

Считая постоянным и дифференцируя поy, находим

Полный дифференциал:

Пример 12. Вычислить 1,07^3,97.

Решение

Число есть частное значение функцииf(x; y) = x^y при x = 1,07, y = 3,97. Известно, что f(1; 4) = 1. Поэтому принимаем x₀ = 1, y₀ = 4. Тогда y = y – y0 = 3,97 – 4 = –0,03.

Так как то

Тест 7. Частная производная функцииравна:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 8. Полный дифференциал функцииz = x² – 4y равен:

1)

2)

3)

4)

5)

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка

Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков. Запись означает, что функцияz k раз продифференцирована по переменной x и раз по переменнойy.

Частные производные иназываютсясмешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Полный дифференциал второго порядка d ²z функции z = f(x; y) выражается формулой

Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии

Пример 13. Найти частные производные второго порядка функции

Решение

Вначале найдем частные производные первого порядка

Продифференцировав их еще раз, получим

Сравнивая последние два выражения, видим, что

Пример 14.Найти полный дифференциал второго порядка функции

Решение

Находим частные производные второго порядка

Следовательно,

Тест 9. Частная производная второго порядка функции равна:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 10. Частная производная второго порядка функцииz = 7x²y – 4y² равна:

1) 0;

2) 14xy;

3) 14x;

4) 7x²y;

5) –8y.