Теорема Коши
Теорема.
Пусть функции y
= f(x)
и
удовлетворяют следующим условиям:
1) непрерывны на отрезке [a; b];
2) дифференцируемы на интервале (a; b);
3) (x) 0 во всех точках интервала (a; b).
Тогда существует по крайней мере одна точка с (а; b), в которой выполняется равенство
(2)
Формулу (2) называют формулой конечных приращений Коши.
Замечание.
Из условия теоремы следует, что
Пример 7. Проверить, может ли быть применима теорема Коши для функций f(x) = x3 и (x) = x2 на отрезке [0; 2].
Решение
Функции удовлетворяют следующим условиям:
1) непрерывны на отрезке [0; 2];
2) дифференцируемы
на интервале (0; 2):
и
приx = 0
производные обращаются в нуль:
и
но внутри промежутка производные обеих
функций отличны от нуля;
3) каждая из функций, например, y = (x), имеет неравные значения на концах отрезка [0; 2]
т. е.
Таким образом, все условия теоремы Коши на данном отрезке выполняются. Следовательно, теорема Коши на данном отрезке применима.
Тест 8. Теорема Коши применима, если функции y = f(x), y = (x):
1) непрерывны на отрезке [a; b];
2) дифференцируемы на интервале (a; b);
3)
во всех точках интервала (a;
b);
4) непрерывны на
отрезке [a;
b],
дифференцируемы на интервале (a;
b),
во всех точках интервала (a;
b);
5) непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b).
Правило Лопиталя
Применяется для
раскрытия неопределенностей вида
и
Теорема.
Пусть имеем частное двух функций
,
где функцииf(x)
и (x)
определены в промежутке X
= (a;
b),
имеют конечные производные
и
в этом промежутке, причем
Тогда, если обе функции бесконечно малые
или бесконечно большие прих
а
+ 0, т. е. если частное
прих
а
+ 0 представляет собой неопределенность
и
то
при условии, что предел отношения
производных существует (конечный или
бесконечный).
Правило Лопиталя
справедливо и для случая, когда
Пример 8. Применив
правило Лопиталя, найти предел
Решение
Пример 9. Применив
правило Лопиталя, найти предел
Решение
Пример 10. Применив
правило Лопиталя, найти предел
Решение
Пример 11.
Применив
правило Лопиталя, найти предел
Решение
Тест 9. Если y = f(x) и y = (x) – дифференцируемые бесконечно малые или бесконечно большие функции при х а, то имеет место равенство (правило Лопиталя):
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 10.
Для раскрытия неопределенности
при вычислении предела
применили правило Лопиталя:
1)
2)
3)
Ответы на тестовые задания
|
Номер теста |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Правильный ответ |
5 |
4 |
2 |
5 |
1 |
5 |
3 |
4 |
3 |
1 |
2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
Функция f(x) называется четной, если:
1) множество D( f ) симметрично относительно нуля;
2) для любого x D( f ) справедливо равенство f(–x) = f(x).
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Функция f(x) называется нечетной, если:
1) множество D( f ) симметрично относительно нуля;
2) для любого
справедливо равенствоf(–x)
= –f(x).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.
Функция f(x)
называется периодической,
если существует такое число Т
0, что для любого
справедливы условия:
1)
2) f(x – T) = f(x + T) = f(x).
Число T называется периодом функции f(x). Если T – период функции f(x), то числа Т, 2Т, 3Т, также являются периодами этой функции. Как правило, под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов, если таковой существует.
Если функция f(x) периодическая с периодом T, то ее график переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси Ох на T единиц влево или вправо.
Пример 1. Указать, какие из следующих функций – четные, какие – нечетные, а какие – общего вида:
1) f(x)
2) f(x)
3) f(x)
Решение
1) D( f )
= (–;
+),
и область определения функции симметрична
относительно начала координат; кроме
того, f(–x)
–f(x),
т. е. данная функция нечетная;
2) D( f )
= (–;
+)
и f(–x)
f(x),
следовательно, функция четная;
3) D( f )
= (–;
+)
и f(–x)
f(x),
т. е. данная функция общего вида.
Пример 2. Определить, является ли данная функция f(x) = sin 4x периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует.
Решение
Наименьшим
положительным периодом функции sin x
является число 2.
Покажем, что наименьший положительный
период sin 4x
– число
Действительно,
т. е.
– период данной функции. С другой
стороны, еслиT1
0 – какой-либо другой период этой функции,
то
для всехx,
т. е.
x R.
Отсюда следует, что 4T1
– период функции sin t,
где t
= 4x,
и, значит,
т. е.
Таким
образом,
– наименьший положительный период
функции
sin 4x.
Аналогично можно
показать, что наименьший положительный
период функции
и
(k
0) – это число
.
Тест 1. Указать, какая из следующих функций является четной:
1) f(x)
2) f(x)
3) f(x)
4) f(x)
5) f(x)
Тест 2. Определить, какая из следующих функций является периодической:
1) f(x)
2) f(x)
3) f(x)
4) f(x)
5) f(x)