Производная обратной функции

Пусть y = f(x) – непрерывная и возрастающая на [a; b]. Значит, на этом промежутке она имеет обратную функцию

Теорема. Если функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на [a; b] и в точке [a; b] имеет производную то обратная функцияx = (y) имеет производную в точке y₀ = f(x₀) которую можно найти по формуле т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 6. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции.

Решение

Находим обратную функцию. Так как тоy³ = x – 1. Значит, . Обратная функцияимеет производнуюСледовательно,

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 7. Найти производную функции

Решение

Логарифмируя данное равенство по основанию e, получаем Дифференцируя полученное равенство, находим

, откуда

Подставляем и получаем

Дифференцирование неявных функций

Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y) = 0, неразрешенного относительно y. Например, y + 2x + cos y – 1 = 0 или

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и затем полученное уравнение разрешить относительно

Пример 8. Найти производную функции y, заданную уравнением

Решение

Функция у задана неявно. Дифференцируем по x равенство x³ + y³ – – 3xy = 0

Из последнего соотношения следует, что .

Производная высших порядков

Производная функцииy = f(x) есть также функция x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается или

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример 9. Найти вторую производную функции

Решение

Находим первую производную функции

Дифференцируем еще раз

Тест 5. Производная третьего порядка функции равна:

1) 16x;

2) (16х)³;

3)

4)

5) 0.

Применение производной в экономике

В экономике широко применяется понятие эластичности функции. Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называется величина

Эластичность функции характеризует процент прироста зависимой переменной, соответствующий приращению независимой переменной на 1%.

Пример 10. Найти эластичность функции

Решение

Применяя формулу находим

В частности, если, например, x = 2, то Это значит, что если переменнаяx возрастает на 1%, то переменная y увеличивается на 2,4%.