Числовые последовательности

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a_n, следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a₁, a₂, a₃, , a_n–1, a_n, ,

кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью. Величина a_n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a_n = f(n) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N  R.

Последовательность называетсявозрастающей (убывающей), если для любого n  N Такие последовательности называютсястрого монотонными.

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n₀). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n.

Если в некоторой последовательности для любого n  N то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей). Такие последовательности называются монотонными.

Пример 1. Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член a_n = n.

Пример 2. Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член a_n = 2n.

Пример 3. 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

Пример 4. Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену . Для вычисленияa₁ нужно в формулу для общего члена a_n вместо n подставить 1, для вычисления a₂ − 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6. Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

1)

2)

3)

4)

Тест 7. Общим членом последовательности является:

1)

2)

3)

4)

Тест 8. Общим членом последовательности является:

1)

2)

3)

4)

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число А называется пределом числовой последовательности:

(1)

если для любого  > 0 найдется такое число n₀ = n₀(), зависящее от , что приn > n₀.

Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n₀, что, начиная с n > n₀, все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

Пример 5. Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N₀ можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n₀ >имеем

Пример 6. Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М, что для всехn. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пример 7. Последовательность является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел=е.

Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

Тест 9. Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 10. Последовательность является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 11. Последовательность не является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) гармонической.

Тест 12. Предел последовательности, заданной общим членом равен:

1) 1;

2) 0;

3) e;

4) .