Вопросы для самоконтроля

1. Определение двойственной задачи в линейном программировании.

2. Модели двойственных задач.

3. Правила для построения двойственной задачи.

4. Основные теоремы теории двойственности и достаточный признак оптимальности.

5. Экономический смысл теорем двойственности, экономическая интерпретация свойств двойственных оценок.

4. Транспортная задача

4.1. Постановка транспортной задачи по критерию стоимости в матричной форме

В mпунктах отправленияA₁,A₂, …,A_m, которые в дальнейшем будем называтьпоставщиками, сосредоточено определенное количество единиц некоторого однородного продукта, которое обозначимa₁, a₂,…,a_m. Данный продукт потребляется вnпунктахB₁,B₂,…,B_n, которые будем называтьпотребителями; объем потребления обозначимb₁,b₂, …,b_n. Известнырасходы (транспортные издержки) на перевозку единицы продукта из пунктаA_i(i= 1, 2, …,m) в пунктB_j(j= 1, 2, …,n), которые равныc_ijи приведены вматрице транспортных расходов (издержек)C= (c_ij).

Требуется составить план перевозок, при котором весь продукт вывозится из пунктов A_i в пунктыB_j в соответствии с потребностью и общая величина транспортных расходов (издержек) будет минимальной.

Обозначим количество продукта, перевозимого из пункта A_iв пунктB_j, черезx_ij. Предполагается, что всеx_ij0. Совокупность всех переменныхx_ijдля краткости обозначимX.

В математической формезадача линейного программирования имеет следующий вид:

	(15)
	(16)
	(17)

при этом (15) – целевая функция, (16) – ограничения по потребностям и запасам, (17) – условие неотрицательности.

Стоимость всех перевозок выражается линейной функцией (15). Условия (16) означают полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления и определяют полный вывоз продукции от всех поставщиков.

Для наглядности условие транспортной задачи (ТЗ) можно представить таблицей, которую будем называть распределительной.Распределительную таблицу называют иногдатабличнойилиматричной моделью ТЗ (матрицей планирования).

Матрицу X = (x_ij)_mnбудем называтьматрицей перевозок, матрицуC= (c_ij)_mn–матрицей тарифов, а числоc_ij–тарифом клетки (i;j).

Будем называть план перевозок X= (x_ij)_mn допустимым, если он удовлетворяет ограничениям (16).

Допустимый план перевозок, доставляющий минимум целевой функции (15), называется оптимальным.

Таблица 13

Потребители, Вj	В1	В2	…	Вп	Запасы, аi
Поставщики, Аi
	c11	c12		c1n
A1	x11	x12	…	x1n	a1
	c21	c22		c2n
A2	x21	x22	…	x2n	a2
	cm1	cm2		cmn
Am	xm1	xm2	…	xmn	am
Потребности, bj	b1	b2	…	bn

Теорема 8 (о существовании допустимого плана).Для того, чтобы ТЗ имела допустимые планы, необходимо и достаточно выполнение равенства

(18)

(сумма запасов продукта равна сумме спроса на него).

Условие (18) является условием баланса.