4. Дробный факторный эксперимент

Количество опытов в полном факторном эксперименте значительпо превосходит число определяемых коэффициентов линей­ной модели. Следовательно, полный факторный эксперимент обладает большой избыточностью опытов. Было бы заманчивым сократить их число за счет той информации, которая не очень существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться к тому, чтобы матрица планирования не лишилась своих оптимальных свойств. Сделать это не так просто, но все же возможно.

4.1. Минимизация числа опытов

Целесообразно начать с самого простого — полного факторного экспери­мента 2². Напишем еще раз его матрицу (табл. -10).

Таблица 10.

Номер опыта	х0	х1	х2	(х3) х1 х2	у
1	+1	-1	-1	+1	у1
2	+1	+1	-1	-1	у2
3	+1	-1	+1	+1	у3
4	+1	+1	+1	-1	у4

Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде не­полного квадратного уравнения

у = b_о+b₁х₁+ b₂х₂+b₁₂х₁х₂

Если имеются основания считать, что в выбранных интерва­лах варьирования процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: b_о, b₁ и b₂. Остается одна степень свободы. Употребим ее для минимизации числа опытов. При линейном приближении b₁₂ →0 и вектор-столбец х₁ х₂ можно использовать для нового фактора х₃. Поставим этот фактор в скобках над взаимодействием х_хх₂ и посмотрим, каковы будут оценки коэффициентов. Здесь уже не будет тех раздельных оценок, которые мы имели в полном факторном эксперименте 2^к. Оценки смешаются следующим образом:

b₁→ β₁ + β ₂₃ ; b₂→ β₂+ β ₁₃ ; b₃→ β₃+ β ₁₂ .

Смещение оценок вполне логично, поскольку постулируется линейная модель, и, следовательно, все парные взаимодействия незначимы. Главное, найдено средство минимизировать число опытов: вместо восьми опытов для изучения трех факторов оказывается можно поставить четыре! При этом матрица планирования не те­ряет своих оптимальных свойств (ортогональность, ротатабельность и т. п.). Найден­ное правило можно сформулировать так: чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

В таблице 11 предлагается матрица взамен полного факторного эксперимента 2³, требующего проведения восьми опытов.

Таблица 11

Номер опыта	х0	х1	х2	х3	у
1	+1	-1	-1	+1	у1
2	+1	+1	+1	+1	у2
3	+1	-1	+1	-1	у3
4	+1	+1	-1	-1	у4

Приведенная матрица cохраняет все свойства полного факторного эксперимента. Она дает возможность оцепить свободный член b_о и три коэффициента при линейных членах, потому что для х₃ использован вектор-столбец х₁х₂полного факторного экспери­мента 2².

Если в дополнение к столбцам вычислить еще столбцы для произведений х_хх₃ и х₂х₃, то получим, что элементы столбца х_хх₃ совпадут с элементами столбца х₂, а элементы столбца х₂х₃ — с элементами столбца x₁. Найденные коэффициенты будут оценками для совместных эффектов

b₁→ β₁+ β₂₃ ; b₂→ β₂+ β₁₃ ; b₃→ β₃+ β₁₂ .

Такое планирование нас вполне допустимо. Произошло смешение эффектов взаимодействия с основными эффектами. Но все основные эф­фекты оцениваются раздельно друг от друга. Так как посту­лируется линейная модель, то предполагается, что эффекты взаимодействия близки к нулю, и поэтому b₁ ≈ β₁; b₂ ≈ β₂ ; b₃ ≈ β₃.

Рассмотрен самый простой случаи: матрицу из четырех опытов для трехфакторного планирования. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов превращается в довольно сложную задачу. Её следует рассмотреть детально. При этом необходимы новые определения и понятия.