5.6. Обработка результатов эксперимента

Тщательное, выполнение эксперимента, несом­ненно, является главным условием успеха исследования.

Однако большое значение имеет обработка полученных дан­ных. Необходимо извлечь из них всю информацию и сделать соот­ветствующие выводы. Это позволяют сделать статистические методы обработки результатов эксперимента.

5.6.1. Метод наименьших квадратов

Статистики разработали много разнообразных методов обра­ботки результатов эксперимента. Но, пожалуй, ни один из них не может конкурировать по популярности, по широте приложе­ний с методом наименьших квадратов (МНК), который был раз­вит усилиями Лежандра и Гаусса более 150 лет назад.

Для ознакомления с этим методом рассмотрим простой случай: один фактор, линейная модель. Интересующая нас функция отклика (которую обычно называют уравнением регрессии) имеет вид у = b₀ +b₁x₁.

Это хорошо известное уравнение прямой линии. Наша цель — вычисление неизвестных коэффициентов b₀ и b₁.

Если бы все экспериментальные точки лежали строго на пря­мой линии, то для каждой из них было бы справедливо равенство

у_i -b₀ - b₁x_1i = 0,где I = 1, 2, . . . , N. — номер опыта. Тогда не было бы никакой проблемы. На практике это равенство нарушается и вместо него приходится писать

у_i -b₀ - b₁x_1i = ξ_i

где ξ_i — разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениями у в i-ой экспериментальной точке. Эту величину иногда называют невязкой.

Невязка возникает по двум причинам: из-за ошибки эксперимента и из-за непригодности модели. Причем эти причины смешаны и мы не можем, не получив дополнительной информации, сказать, какая из них преобладает.

Можно постулировать, что модель пригодна. Тогда невязка будет порождаться только погрешностью опыта. (Еще можно, конечно, постулировать, что ошибка опыта равна кулю. Тогда невязка будет связана только с пригодностью модели, и пригодной будет такая модель, для которой все невязки равны нулю.)

Обычно погрешность опыта и пригодность модели оценивают независимо.

Конечно, необходимо найти такие коэффициенты регрессии, при которых невязки будут минимальны. Это требование можно записать по-разному. В зависимости от этого мы будем получать разные оценки коэффициентов. Вот одна из возможных записей

(16 )

которая приводит к методу наименьших квадратов.

Существует и метод, в котором минимизируется сумма модулей (абсолютных величин) невязок. Но этот путь связан с дополни­тельными вычислительными трудностями. Условие МНК - это удачный компромисс.

При постановке эксперимента, то обычно проводится больше (во всяком случае не меньше) опытов, чем число неизвест­ных коэффициентов. Поэтому система линейных уравнений

ξ_i= у_i -b₀ - b₁x_1i

оказывается переопределенной и часто противоречивой (т. е. она может иметь бесконечно много решений или может не иметь реше­ний). Переопределенность возникает, когда число уравнений больше числа неизвестных; противоречивость - когда некоторые из уравнений несовместимы друг с другом.

Только если все экспериментальные точки лежат на прямой, то система становится определенной и имеет единственное реше­ние.

МНК обладает тем замечательным свойством, что он делает определенной любую произвольную систему уравнений. Он де­лает число уравнений равным числу неизвестных коэффициентов.

Уравнение регрессии имеет вид у = b₀ +b₁x₁. В нем два неизвестных коэффициента. Значит, применяя МНК, мы получим два уравнения.

Выражение ( 16 ) можно записать в виде

( 17)

Известно, что минимум некоторой функции, если он существует, достигается при одно­временном равенстве нулю частных производных по всем неиз­вестным, т. е.

,

Дифференцируя (17), имеем

Для вычислений удобно раскрыть скобки и произвести простые преобразования, которые дают:

(18а)

(18б)

Окончательные формулы для вычисления коэффициентов регрессии имеют вид:

(19)

(20)

Для определения коэффициентов необходимо, входящие в эти формулы.

Результаты эксперимента представляются следующей матрицей

Таблица 16

Номер опыта	x1	y
1 2 … I … N	x11 x12 … x1i … x1N	y1 y2 … yi … YN

Для выполнения вычислений ее расширяют так, как представлено в табл. 17

Таблица17

Номер опыта	x1	y		y x1	y2	x1+y	(x1+y)2
1 2 …. I …. N ∑ Среднее значение	x11 x12 …. x1i …. x1N	y1 y2 …. yi ….. yN	…. …..	y1 x11 y2 x12 ….. yi x1i ….. yN x1N	…. ….	x11+ y1 x12+ y2 …. x1i+ yi …. x1N+yN --	(x11+y1)2 (x12+y2)2 …. (x1i+yi)2 ….. (x1N+yN)2

В этой таблице сделано больше вычислений, чем требуется для расчета b_о и b₂ Эти «лишние» дан­ные нужны для проверки правильности расчетов.

Возможны два способа проверки. Первый из условия

которое должно выполняться не только для сумм, но и в каждой строчке таблицы. Второй способ использует условие

Подставляя в это соотношение и x₁ из последней строки таблицы и один из коэффициентов, можно найти другой коэффициент и сравнить с расчетным.

Вторая из проверок является наиболее полной, наиболее жест­кой. Она проверяет не только вычисления сумм, но и вычисления коэффициентов.

На практике используют обе проверки, чтобы в случае ошибок в таблице не считать зря коэффициенты.

Исходные данные и полученное уравнение представлено на графике (рис. 18).

Выделим для удобства рассмотрения несколько эксперимен­тальных точек и отрезок нашего уравнения в большем масштабе (рис.19).

Цифрами 1, 2, 3, обозначены три экспериментальные точеки. МНК состоит в том, чтобы минимизировать сумму квадратов отрезков, характеризующих расхождение между экс­периментальными точками и полученным уравнением. На основе рис. 19 можно вычислить сумму квадратов невязок, т.е остаточную сумму квадратов. Для этого прежде всего необходимо вычислить по уравнению значения у в условиях каждого опыта. Такое значение обычно называют «предсказанным» и обозначают . Затем нужно определить все невязки (отрезки, изображенные на рис. 19 пунктиром), возвести их в квадрат и сложить ( табл. 18)

Рис. 18

Рис. 19

Рис.20

Таблица 18

Номер опыта
1 2 … I … N	… …	… …	… …	… …

Величина и есть остаточная сумма квадратов,

которая раньше была обозначена как . МТК

гарантирует, что это величина минимально возможная.

Итак, рассмотрен метод оценки коэффициентов линейного уравнения на основе МНК для одного фактора.

Обобщение на многофакторный случай не связано с какими-либо принципиальными трудностями. Правда, вычисления зна­чительно усложняются и требуют привлечения аппарата алгебры матриц.

Имеется возможность резко упростить вычисления для однофакторного варианта, на основе того, что рассмотренные матрицы планированияортогональны.

Доказано, что для любого числа факторов коэффициенты можно вычисляться по формуле

(20)

В этой формуле j=0, 1, 2 . . . , к — номер фактора. Ноль записан для вычисления b_о.

Формула (20) может быть получена из формул (18) и (19). В формуле (18)

,

в силу симметричности плана. Поэтому после сокращения фор­мулы приобретают вид

где

=N

Так как каждый фактор (кроме х₀ ) варьируется на двух уров­нях + 1 и —1, то вычисления сводятся к приписыванию столбцу у знаков соответствующего фактору столбца и алгебраическому сложению полученных значений. Деление результата на число опытов в матрице планирования дает искомый коэффициент.