2.2.Требования, предъявляемые к факторам при планировании эксперимента

При планировании эксперимента следует выбирать факторы которые являются управляемыми. Это значит, что при проведении эксперимента, выбрав нужное значение фактора, можно поддерживать его постоянным в те­чение всего опыта, или изменять по определенной программе.

Чтобы точно определить фактор, нужно указать последова­тельность действий (операций), с помощью которых устанавли­ваются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора называют операциональным. Так, если фактором является давление в некотором аппарате, то совершенно не­обходимо указать, в какой точке и с помощью какого прибо­ра оно измеряется и как оно устанавливается. Введение опера­ционального определения обеспечивает однозначное понимание фактора. С операциональным определением так же связаны выбор размерности фактора и точность его фиксирования.

Точность измерения величин воздействующих факторов должна быть возможно более высо­кой. Требования к точности зависят от диапазона изменения фак­торов. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах необходимо учитывать, быть может, доли секунды.

При выборе факторов желательно, что бы они были однозначны. Сложно управлять фактором, который является функцией других факторов. Но в планировании могут участвовать сложные факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т. п. В этом случае обычно сложный фактор-функцию представляют с помощью простых однозначных факторов.

При планировании эксперимента обычно одновременно изме­няется несколько факторов. Поэтому очень важно сформулировать требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Прежде всего, выдвигается требование совместимости. Совмести­мость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны.

Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их определения. Избавиться от нее можно сокращением областей. Положение усложняется, если несовместимость про­является внутри областей определения. Одно из возможных решений — разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач.

При планировании эксперимента важна независимость факто­ров, т. е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент. Итак вторым требованием является отсутствие корреляции между факторами. Требование некоррелированности не означает, что между значениями факторов нет никакой связи, Достаточно, чтобы связь не была линейной.

3. Выбор модели

3.1. Под моделью понимается вид функции отклика

y = f(x₁, х₂, ..., х_к).

Выбрать модель — значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Далее следует спланировать и провести экспери­мент для оценки численных значений констант (коэффициен­тов) этого уравнения. Но как выбрать модель?

Одним из способов выбора модели является построение геометрического аналога функции от­клика — поверхности отклика. Для наглядности рассмот­рим случай эксперимента с двумя факторами.

Для геометрического представления возможных состояний «черного ящика» с двумя входами достаточно плоскости в обычной декартовой системой координат. По одной оси координат следует откладывать в некотором масштабе уровни одного фактора, а по другой оси — второго. Тогда каждому состоянию «ящика» будет соответствовать точка на плоскости. У каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, со­ответствующие состояниям «черного ящика».

Пунктирными линиями на рис.8 обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными — границы их совместной области определения. Чтобы указать значение пара­метра оптимизации, требуется еще одна ось координат. Если ее построить, то поверхность отклика будет вы­глядеть так, как на рис. 9. Прост­ранство, в котором строится поверх­ность отклика, называют факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметра оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При мно­гих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно и приходится ограничиваться только алгебраическим языком.

Рис.8

Рис.9

Но для двух факторов можно даже не переходить к трехмерному пространству, а ограничиться плоскостью. Для этого достаточно про­извести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости x₁0х₂, и полученные в сече­ниях линии спроектировать па эту плоскость (рис.10). Точка М на рисунке — та оптимальная точка, которую мы ищем. Каждая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика. Существует соответствие между состоянием «ящика» и значением параметра оптимизации: каждому возможному состоянию «ящика» соответствует одно значение параметра опти­мизации. Однако обратное неверно: одному возможному зна­чению параметра оптимизации может соответствовать и одно, и несколько, и сколько угодно состояний «ящиков».

Рис.10

Определив понятие поверхность отклика, можно перейти к вопросу о постановке эксперимента, с помощью которого можно найти оптимум при минимуме затрат. При наличии таблицы, в которой содержались бы все возможные состояния объекта и соответствующие им отклики, необходимости в построении математической модели не было бы. Из таблицы можно было бы выбрать то состояние, которое соответствует наилучшему отклику. Однако для построения таблицы, необходим перебор большого количества возможных состояний, что требует выполнения весьма большого объема экспериментов.

Другая возможность — случайный выбор некоторого числа состояний и определение откликов в них, в надежде, что среди этих состояний попадутся оптимальное или, по крайней мере, близкие к нему состояния. Этот подход противоречит идее планирования эксперимента.

Наконец, третья возможность — строить математическую мо­дель, чтобы с ее помощью предсказывать значения откликов в тех состояниях, которые не изучались экспериментально.

Такая стратегия приводит к так называемому шаговому принципу.