3.9. Свойства полного факторного эксперимента 2к

Рассмотренные методы построения матриц планирования полных факторных экспериментов с факторами на двух уровнях, позволяют произвести планирование при неограниченном количестве самих факторов. Представляют интерес общие свойства этих матриц, определяющие качество модели. Конечная цель планирования эксперимент направлена на получение модели, обладающей некоторыми оптимальными свойствами. Это зна­чит, что оценки коэффициентов модели должны быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не должна зависеть от направления в факторном - пространстве, ибо заранее неясно, куда предстоит двигаться в поисках оптимума.

Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы. Первое из них — симметричность относительно центра экспери­мента — формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор - столбца каждого фактора равна нулю, или

где j — номер фактора, N—-число опытов, j = 1, 2,, . . к.

Второе свойство — так называемое условие нормировки — формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или

Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и -1.

Таковы свойства отдельных столбцов матрицы плани­рования. Теперь остановимся на свойстве совокупности столб­цов.

Сумма почленных произведений любых двух вектор - столбцов матрицы равна нулю, или

J ≠u ; j,u=0,1,2…….,k

Это важное свойство называется ортогональностью матрицы пла­нирования.

Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т. е. точки в матрице планирования подбираются так, что точ­ность предсказания значений параметра оптимизации одина­кова па равных расстояниях от центра эксперимента и не зави­сит от направления.

Представляет интерес проверка перечисленных положений.

Предположим, разработаны две матрицы планирования:

а) х₁ х₂ б) х₁ х₂

- + - +

+ - + -

- + - +

+ + + -

Проверим, как выполняются все три свойства для каждой из

матриц. Для первого столбца матрицы а) имеем

(-1) + (+1) + (-1) + (+1) = 0. Аналогичный результат получается для всех остальных столбцов.

Второе свойство

- также выполняется для обоих матриц. Например для того же столбца имеем:

(-1)² + (+1)² +(-1)² + (+1)² = 4.

С третьим свойством, дело обстоит иначе. Если для матрицы а) формула

выполняется при j ≠ u, то в случае б) это не так. Действительно

(-1) (+1) + (+1) (-1) +(-1) (+1) + (+1) (-1) ≠ 0.

3.10. Полный факторный эксперимент и математическая модель

Для рассмотрения полного факторного эксперимента обратимся к его матрице 2² (табл. 4). Для дви­жения к точке оптимума нам нужна линейная модель

у = b₀ +b₁x₁+ b₂x₂ Основная цель — найти по результатам экспери­мента значения неизвестных коэффициентов модели. До сих пор, говоря о линейной модели, мы не останавливались на важном вопросе о статистической оценке ее коэффициентов.

Можно утверждать, что эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель η = β₀ + β₁x₁+ β₂x₂ адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения «истинных» генеральных значений соответствующих неизвестных. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения у = b₀ +b₁x₁+ …+b_кx_к Их точность и надежность зависят от свойств выборки и нуждаются в статистической проверке.

Статистическая проверка будет рассмотрена далее, а пока определим оценки коэффици­ентов. Их можно вычислить по простой формуле

, j=0,1…..,k.

Воспользуемся этой формулой для подсчета коэффициентов b₁ и b₂.

Как видно из примера благодаря кодированию факторов расчет коэф­фициентов превратился в простую арифметическую процедуру. Для подсчета коэффициента b₁ используется вектор-столбец х_ъ а для b₂ — столбец х₂. Остается неясным, как найти b_о. Если уравнение у = b_о + b₁х₁ + b₂х₂ справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений переменных:

.

Но в силу свойства симметрии ==0.Сле­довательно, = b_о. Таким образом b₀ есть среднее арифме­тическое значение параметра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сложить все у и разделить на число опытов. Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой для вычис­ления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести век­тор-столбец фиктивной переменной х₀, которая принимает во всех опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы, где j принимало значения от 0 до к.

Теперь есть все необходимое, чтобы найти неизвестные коэффициенты линейной модели у = b₀ +b₁x₁+ b₂x₂ .

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр опти­мизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Вели­чина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в ве­личину параметра оптимизации при переходе фактора с нуле­вого уровня на верхний или нижний.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего к верхнему уровню. Вклад, определенный таким обра­зом, называется эффектом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэф­фициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. По­этому понятие «эффект фактора» является здесь естественным.

Планируя эксперимент, на первом этапе обычно стремятся получить линейную модель. Однако нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной мо­делью. Существуют способы проверки пригодности линейной –модели. А если модель нелинейна, возникает задача количественной оценки нелинейности, пользуясь полным факторным экспериментом.

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эк­сперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимо­действия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вы­числении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодей­ствия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента 2² матрица планирования с учетом эффекта взаи­модействия представлена в табл. 8. Очень важно, что при до­бавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются.

Таблица 8

Номер опыта	х0	х1	х2	х1 х2	у
1	+1	-1	-1	+1	у1
2	+1	+1	-1	-1	у2
3	+1	-1	+1	+1	у3
4	+1	+1	+1	-1	у4

Теперь модель выглядит следующим образом: у = b₀ +b₁x₁+ b₂x₂ +b₁₂ x₁ x₂ .

Коэффициент b₁₂ вычисляется по формуле:

Столбцы x₁ и x₂ задают планирование — по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы х₀ и х₁х₂ служат только для расчета.

При оптимизации эффекты взаимодействия стремимся сделать возможно меньшими. В задачах интерполяции, напротив, их выявление часто важно и интересно.

С ростом числа факторов число возможных взаимодействий растёт. Матрица планирования 2³ с учетом всех возможных взаимодействий представлена в таблице 9.

Таблица 9

Номер	х0	х1	х2	х3	х1 х2	х1 х3	х2 х3	х1 х2 х3	у
1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	У1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	у2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	у3
4	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	у4
5	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	у5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	у6
7	+1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	у7
8	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	у8

При построении столбца эффекта взаимодействия х₁х₂х₃ используется пере­множение всех трех столбцов что называется эффектом взаимо­действия второго порядка. Эффект взаимодействуя двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка. Вообще эффект взаимодействия максимального порядка в полном фак­торном эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа факторов. Довольно часто применяются синонимы: парные эф­фекты взаимодействия (х₁х₂, х₁х₃...), тройные (х₁х₂х₃, х₂х₃х₄,...) и т. д.

Полное число всех возможных эффектов, включая b_о, линей­ные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно вос­пользоваться обычной формулой числа сочетаний

где к - число факторов, т — число элементов во взаимодей­ствии. Так, для плана 2⁴ число парных взаимодействий равно шести