3.8. Полный факторный эксперимент типа 2к

Первый этап планировании эксперимента для линейной модели основан, как на варьиро­вании факторов на двух уровнях. В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти число опытов, необходи­мое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Это число определяется с помощью формулы: N = 2^к, где N — число опытов, к — число факторов, 2 — число уровней. В общем случае экспе­римент, в котором реализуются все возможные сочетания уров­ней факторов, называется полным факторным экспериментом. Если число уровней каждого фактора равно двум, то имеем пол­ный факторный эксперимент типа 2^к . Если число факторов к=2, то формула принимает вид N = 2²=4. Матрица планирования эксперимента таким образом содержит 4 опыта. Уровни факторов для каждого опыта приведены в таблице 5.

Таблица 5

Номер опыта	х1	х2	у	Буквенные обозначения
1	-1	-1	у1	(1)
2	+1	-1	у2	а
3	-1	+1	у3	в
4	+1	+1	у4	ав

Таблица 4 соответствует самому простому случаю. В случае большого количества факторов матрица получается весьма громоздка. Для её упрощения часто используются буквенные обозначения, которые приведены в правом столбце таблицы.

Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента 2² представлена на рис.15

Рис. 15

В таблице 6 представлена матрица планирования эксперимента 2³, т.е. для случая применения трех факторов.

Таблица 6

Номер опыта	х1	х2	х3	у	Буквенные обозначения
1	-1	-1	+1	у1	а
2	-1	+1	-1	у2	в
3	+1	-1	-1	у3	с
4	+1	+1	+1	у4	авс
5	-1	-1	-1	у5	(1)
6	-1	+1	+1	у6	вс
7	+1	-1	+1	у7	ас
8	+1	+1	-1	У8	а в

С ростом количества учитываемых факторов становится трудным построения матрицы плана методом прямого перебора. В этом случае можно воспользоваться приемом преобразования матрицы меньшего размерности в матрицу большей размерности. Это достигается тем, что при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана повторяется дважды: в сочетании с нижним и верхнем уровнями нового фактора, как это показано в таблице 7. При переходе от эксперимента 2², к 2³.

Таблица 7

Номер опыта	х1	х2	х3	у
1	-1	-1	+1	у1
2	-1	+1	+1	у2
3	+1	-1	+1	у3
4	+1	+1	+1	у4
5	-1	-1	-1	у5
6	-1	+1	-1	у6
7	+1	-1	-1	у7
8	+1	+1	-1	У8

Рассмотренный прием распространяется на построение матриц любой размерности. По аналогии с факторным экспериментом 2² можно дать геометрическую интерпретацию полного факторного эксперимента 2³. Геометрической интерпретацией полного факторного эксперимента 2³ служит куб (рис.16) , координаты вершин которого задают условия опыта.

Рис. 16

Предполагается, что основной уровень фактора располагается в центре куба, а масштабы по осям выбраны так, что интервал варьирования равен единице. Таким образов в данном случае область эксперимента задается кубом.

Следует отметить, что при к>3 , когда область эксперимента находится в многомерном пространстве, построить аналогичную геометрическую фигуру не представляется возможным.