3.3.Выбор модели

Выбор модели осуществляется на основе требований, которые к ней предъявляются.

Основное требование к модели — это способность предсказывать с требуемой точностью направление дальней­ших опытов. Так как до выбора модели неизвестно, какое направление мы будем использовать, то естественно требовать, чтобы точность предсказа­ния во всех возможных направлениях была одинакова.

Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адекватной. Проверка выполнимости этого требования называется проверкой адекватности модели. Разработаны специальные статистические методы, с по­мощью которых проверяется адекватность.

Если несколько различных моделей отвечают нужным требо­ваниям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой.

На рис.13 изображена логарифмическая функция. На неко­тором отрезке [x_min , x_max] она с удовлетворительной точностью описывается двумя уравнениями:

У = log_bx, (8)

у=bх. (9)

В уравнении (9) b — коэффициент, который можно оценить, например, по результатам эксперимента. Оба уравнения, (8) и (9) могут быть использованы при планировании эксперимента.

Однако на практике предпочитают модели на основе степенных рядов - алгебраических полиномов. Построение полинома возможно в окрестностях любой точки факторного пространства, поскольку предполагается, что функция является аналитической.

Полиномы для двух факторов могут различаться по максимальным степеням входящих в них переменных.

Полином нулевой степени: y = b₀.

Полином первой степени: у = b₀+b₁х₁+b₂х₂.

Полином второй степени:

y = b₀+b₁х₁+b₂х₂ + b₁₂ х₁ х₂ + b₁₁ х₁² + b₂₂ х₂²

Полипом третьей степени:

y = b₀+b₁х₁+b₂х₂ + b₁₂ х₁ х₂ + b₁₁ х₁² + b₂₂ х₂² + b₁₁₂ х₁²x₂ + b₁₂₂ х₁x₂² + b₁₁₁ х₁³ + b₂₂₂ х₂³

3.4. Полиномиальные модели

Описанная выше операция замены неизвестной функции отклика полиномом называется аппроксимацией. Заменяя неизвестную функцию полиномом, необходимо решить какой степени полином использовать на первом шаге эксперимента. Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома. Поэтому чем больше коэф­фициентов, тем больше опытов окажется необходимым. Поскольку всегда желательно сократить число опытов, необходимо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем коэф­фициентов .

Естественно удобно иметь модель хорошо предсказывающую направле­ние наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента. Ясно, что движение в этом направлении приведет к успеху быстрее, чем движение в любом другом направлении (это значит, что будет достигнута экономия числа опытов).

С одной стороны полином первой степени, содержит информацию о направлении градиента, с другой — в нем минимально возможное число коэф­фициентов при данном числе факторов. Единственное опасение в том, что неясно, будет ли линейная модель всегда адекватной.

Можно утверждать, что всегда существует такая окрестность любой точки (точнее, почти любой точки), в которой линейная модель адекватна. Раз­мер такой области заранее не известен, но адекватность можно проверять по результатам эксперимента. Следовательно, выбрав сначала произвольную подобласть, и проведя эксперименты можно найти ее размеры, требуемые для обеспечения адекватности и далее осуществить движение по градиенту.

На следующем этапе можно искать линейную модель в другой подобласти. Цикл следует повторять до тех пор, пока движе­ние по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что осуществилось определение области, близкой к оптимуму. Такая область назы­вается «почти стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна. Либо попаданием в почти стационарную область задача решена, либо надо пере­ходить к полиномам более высоких степеней, например второй степени, чтобы подробнее описать область оптимума.

Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построе­ния интерполяционной модели. В этом не ищется оптимум. Задача состоит в предсказании результата с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. Здесь нет необходимости выбора подобласти. Необходимо последова­тельно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной.