5.6.2. Регрессионный анализ

МНК применяется на практике не только как вычислительный прие­м. При проверке какой-либо гипотезы о пригод­ности модели или о значимости коэффициентов, приходится прибегать к статистике. При этом МНК превращается в регрессионный анализ.

А регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах.

Первый постулат. Параметр оптимизации у есть случайная величина с нормальным законом распределения. Дисперсия вос­производимости, одна из характеристик этого закона распределения.

При наличии большого экспериментального материала (де­сятки параллельных опытов) гипотезу о нормальном распреде­лении можно проверить стандартными статистическими тестами(например, χ -критерием). К сожалению, экспериментатор редко располагает такими данными, поэтому приходится принимать этот постулат на веру. (Кроме тех случаев, когда заведомо из­вестно, что это не так и требуется специальное рассмотрение). В том, что у — случайная величина, обычно сомневаться не приходится.

Второй постулат. Дисперсия у не зависит от абсолютной ве­личины у. Выполнимость этого постулата проверяется с помощью кри­териев однородности дисперсий в разных точках факторного про­странства. Нарушение этого постулата недопустимо. Если одно­родность дисперсий все же отсутствует, то необходимо такое пре­образование у, которое делает дисперсии однородными, которое не всегда легко найти. Довольно часто помогает логарифми­ческое преобразование, с которого обычно начинают поиски.

Третий постулат. Значения факторов суть неслучайные вели­чины. Это несколько неожиданное утверждение практически озна­чает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка воспроизво­димости.

Нарушение этого постулата приводит к трудностям при реали­зации матрицы планирования. Поэтому оно обычно легко обнару­живается экспериментатором.

Существует еще четвертый постулат, налагающий ограничения на взаимосвязь между значениями факторов. Он выпол­няется автоматически при ортогональности матрицы планиро­вания.

Если постулаты выполняются, то можно проверять стати­стические гипотезы.

5.6.3. Проверка адекватности модели

Основная задача, возникающая после вычисления коэф­фициентов модели, это проверка ее пригодности, т.е. проверка адекватности модели.

Ниже (рис. 21, а, б) приведены два рисунка с одинаковым расположением экспериментальных точек и, следовательно, оди­наковым разбросом относительно линии регрессии, но с различным средним разбросом в точках (с различной дисперсией воспроизводимости).

Рис.21

Разброс в точках показан, отрезками прямых, составляющих доверительный интервал. Модель можно считать адекватной только в первом случае.

В данном случае разброс в точках такого же порядка, что и разброс относительно линии. Поэтому можно предполагать, что построенная модель пригодна. Во втором случае требуется более сложная модель, чтобы точность ее пред­сказания была сравнима с точностью эксперимента.

Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), кото­рые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Если, например, проведен полный факторный эксперимент 2³ и найдено линейное уравнение регрессии, то число степеней свободы f = N- (k + 1) = 8 – (3 +1) = 4. Здесь (3 +1) количество констант в уравнении.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней сво­боды, называется остаточной дисперсией, или дисперсией адек­ватности

.