5.3. Погрешности параллельных опытов

Каждый эксперимент содержит элемент неопределенности вследствие погрешности измерений. По­становка повторных (или параллельных) опытов не дает полностью совпадающих результатов, из-за погрешности. За наиболее вероятное значение измеряемого параметра бе­рется среднее арифметическое всех результатов. Для этого опыт воспроизводится по возможности в одинаковых условиях несколько раз. Среднее арифме­тическое равно сумме всех п отдельных результатов, деленной на количество параллельных опытов п:

Отклонение результата любого опыта от среднего арифмети­ческого можно представить как разность у — , где у — резуль­тат отдельного опыта. Наличие отклонения свидетельствует об изменчивости, вариации значений повторных опытов. Для изме­рения этой изменчивости чаще всего используют дисперсию. Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений величины от ее среднего значения. Дисперсия обозначается s² и выражается формулой

,

где (n-1) число степеней свободы, равное количеству опытов минус единица. Одна степень свободы использована для вычис­ления среднего.

Корень квадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называется средним квадратическим отклонением.

Оценка погрешности проведения измерений различных откликов

5.4. Элементы математической статистики

5.4.1. Выборка и ее характеристики

Исходным материалом для всякого статистического исследо­вания служит совокупность из п наблюдений, в результате которых случайная величина X принимает значения х₁,х₂, ..., х_п.

Ранее измеренная величина (отклик) обозначалась через у. Поскольку в данном разделе используются материалы математической статистики, взятые из монографий математического направления, где принято случайную величину принято обозначать буквой х будем придерживаться этой традиции. Это позволит при необходимости читателю без затруднений расширить свои знания, пользуясь опубликованной литературой. В дальнейшем будем предполагать, что испыта­ния взаимно независимы и произведены в неизменных усло­виях, а функция распределения F(x) случайной величины. X неизвестна, хотя считается принадлежащей конкретному классу распределе­ний Р.

Определение. Набор наблюдаемых значений х₁, ..., х_п на­зывается повторной выборкой объема п из совокупности Q или просто выборкой.

Определение. Любая функция от результатов наблюдения называется статистикой.

Если статистика используется или хотя бы претендует на таковое для оценивания, то о ней говорят как об оценке.

5.4.2. Эмпирическая функция распределения

Рассмотрим выборку х₁, ...,х_п. Перегруппировав ее элемен­ты в возрастающем порядке: х₍₁₎ ≤ х₍₂₎ ≤ х₍₃₎ ….≤ х_(n) , получим упорядоченную выборку, которая называется вариа­ционным, или статистическим, рядом, а величины х_(i) — по­рядковыми статистиками.

Обозначим v_n(x) — число выборочных значений, не пре­восходящих x.

Функция

представляет частоту события {X < х} в последовательности п наблюдений. Ее называют эмпирической функцией распреде­ления выборки.

График функции распределения представлен на рис. 18.

Рис.17

Эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами распределения:

1) 0≤≤ 1,

2) монотонно возрастает.

Она является естественной оценкой теоретической функ­ции распределения F(x), но не совпадает с последней. Если все x_i различны, то скачки эмпирической функции распреде­ления равны 1/n и F(= j/n. В общем случае скачок функ­ции в точке x_(j) равен

сходится по вероятности к F(x) при п → ∞. Границы, в которых с большой вероятностью будет заключена неизвестная функция распределения F(x) были определены теоремой доказанной Колмогоровым.