123

Б.П.Хромой

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

1.1.Введение

Люди экспериментировали уже в древности. Понимали то, что эксперимент нужно планировать. Изготовляя, лук и стрелы ставили опыты, добиваясь нужного результата. Естественно, что опыты проводили по задуманному ранее плану, т.е. говоря современным языком, осуществлялось планирование эксперимента.

В двадцатом веке планирование эксперимента обрело математическую форму. Строительство промышленных предприятий требовало вложения больших денежных средств. Естественно, прежде чем строить, было необходимо отработать технологию производства продукта, для которого предполагалось построить предприятие, т.е. провести эксперимент. В процессе эксперимента учитывались многочисленные факторы, которые могли влиять на конечный продукт, что усложняло и удорожало эксперимент.

Применение планирования эксперимента на основе математических статистических методов делает работу экспериментатора более рациональной.

Идея применения статистических методов планирования эксперимента принадлежит английскому математику Р.Фишеру. Он показал, что планирование эксперимента с учетом варьирования всего лишь одного фактора, влияющего на конечный результат, является слишком упрощенным. Такой метод планирования эксперимента называют «однофакторным». В конце 20-х годов прошлого столетия Р.Фишер доказал целесообразность одновременного варьирования всех факторов, влияющих на процесс. В 1935 г. Р.Фишер опубликовал монографию «Планирование эксперимента». Применявшиеся им методы получили распространение после появления работы Дж.Бокса и К.Уильсона. Следует отметить так же работы американского математика Дж.Кифера. В развитии отечественной школы по теории планирования большую роль сыграли работы В.В.Налимова, В.В.Федорова, Г.К.Круга, Е.В.Марковой, Ю.П.Адлера, Ю. В. Грановского.

Через несколько десятилетий сформировалось новое направление в планировании эксперимента – планирование экстремального эксперимента, в ходе которого предусмотрена оптимизация процессов.

2. Основные определения.

Планирование эксперимента (англ. experimental design techniques) — комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента – достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов.

Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении интерполяционных формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант теоретических моделей и др.

Планирование эксперимента возникло в 20-х годах XX векаиз потребности устранить или хотя бы уменьшить систематические ошибки в сельскохозяйственных исследованиях путем рандомизации условий проведения эксперимента. Процедура планирования оказалась направленной не только на уменьшение дисперсии оцениваемых параметров, но также и на рандомизацию относительно сопутствующих, спонтанно изменяющихся и неконтролируемых переменных. В результате удалось избавится от смещения в оценках.

Как уже отмечалось, родоначальником теории планирования эксперимента был Р.Фишер. Он в 1918 г. начал свою известную серию работ на Рочемстедской агробиологической станции в Англии. В 1935 годупоявилась его монография «Design of Experiments», давшая название всему направлению.

Исследования Р. Фишера знаменуют начало первого этапа развития методов планирования эксперимента. Р.Фишер разработал метод факторного планирования. Позднее Ф.Йетс предложил для этого метода простую вычислительную схему. Факторное планирование получило широкое распространение. Особенностью факторного экспериментаявляется необходимость ставить сразу большое число опытов.

Дальнейшее развитие теории факторного эксперимента было достигнуто в работах Д. Финни, Р. Плакетта, Д. Бермана, Г. Хотеллина, М. Фридмана, Л. Сэвиджа.

Для построения современной теории планирования эксперимента, не хватало одного звена — формализации объекта исследования. Это звено появилось в 1947 г. после создания Н. Винером теории кибернетики. Кибернетическое понятие «черный ящик», играет в планировании важную роль.

В 1951 г. работой американских ученых Дж. Бокса и К. Уилсона начался новый этап развития планирования эксперимента. В ней сформулирована и доведена до практических рекомендаций идея последовательного экспериментального определения оптимальных условий проведения процессов.

В 1954—1955 гг. Дж. Бокс, показал, что планирование эксперимента можно использовать при исследовании физико-химических процессов, если априори высказаны одна или несколько возможных гипотез. Направление получило развитие в работах Н. П. Клепикова, С. Н. Соколова и В. В. Федорова в ядерной физике.

Третий этап развития теории планирования эксперимента начался в 1957 г., когда Дж.Бокс применил свой метод в промышленности. Этот метод стал называться «эволюционным планированием».

Широкое внедрение теории планирования эксперимента связано с тем, что большинство научных исследований связано с экспери­ментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опыт­ных полях и участках, в клиниках и т. д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может непо­средственно проводиться на объекте или на его модели. Модель обычно отличается от объекта масштабом, а иногда природой.

Если модель достаточно точно описывает объект, то экспери­мент на объекте может быть заменен экспериментом на модели. В последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают абстрактные математические модели. Можно получать новые сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно точно описывает объект.

Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако возникает вопрос, насколько эффективно он используется.

Одним из возможных путей повышения эффективности эксперимента является применение математических методов, построение математической теории планирования эксперимента.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для реше­ния поставленной задачи с требуемой точностью. При этом су­щественно следующее:

• стремление к минимизации общего числа опытов;

• одновременное варьирование всеми переменными, определяю­щими процесс, по специальным правилам — алгоритмам;

• использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;

• выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснован­ные решения после каждой серии экспериментов.

Пусть, например, у химика возникла гипотеза о том, что при взаимодействии двух веществ должен получаться некоторый интересующий его продукт. Чтобы убедиться в правильности своей гипотезы, он начинает проводить эксперимент. Возможно, что ему повезло, и он получил требуемый продукт. Однако выход продукта весьма низок, скажем, 2%. Вот тут-то и возникает задача выбора оптимальных условий. Требуется так подобрать концентрации реагирующих веществ, температуру, давление, время реакции и другие факторы, чтобы сделать выход возможно более близким к 100%. В данном примере находятся условия проведения процесса, оптимальные в смысле максимизации выхода требуемого продукта. Но это далеко не единственно возможная постановка задачи. Найденные условия оказались бы другими, если бы ставилась, например, цель минимизации себестоимости продукта или минимизации количества вредных примесей. Следует подчеркнуть, что всегда необходимо четко формулировать, в каком смысле условия должны быть оптимальными. Этим определяется выбор цели исследования. Точная формулировка цели в значи­тельной мере определяет успех исследования.

Задачи, сформулированные аналогичным образом, назы­ваются задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации или просто оптимизацией. Выбор опти­мального состава многокомпонентных смесей или сплавов, повыше­ние производительности действующих установок, повышение ка­чества продукции, снижение затрат на ее получение — вот при­меры задач оптимизации.

Эксперимент, который ставится для решения задач оптимиза­ции, называется экстремальным. Это название связано с глубокой аналогией между оптимизацией и поиском экстремума некоторой функции. Идею экстремального эксперимента рассмотрим на примере следующих двух задач.

1. Прочность бетона в значительной степени определяется маркой цемента, количеством наполнителя и количеством воды. Требуется установить связь между прочностью бетона и назван­ными факторами.

2. Надежность некоторого полупроводникового прибора зависит от ряда технологических факторов. Требуется так подобрать значения этих факторов, чтобы надежность прибора повысилась.

Какая из этих задач является экстремальной? Чтобы облегчить вам выбор, укажем на признак, отличающий экстремальные задачи. Задача является экстремальной, если цель ее состоит в поиске экстремума некоторой функции. Чтобы установить, какая из двух задач является экстремальной, надо обратиться к их формулировкам и выяснить, где удовлетворяются требования экстремальности. В задаче 1 требуется установить связь между прочностью бетона и тремя факторами. Здесь не определено, какая прочность является оптимальной, и не тре­буется ее оптимизировать. В задаче 2 необходимо повысить на­дежность прибора. Сама постановка задачи указывает на то, что существующая надежность не удовлетворяет эксперимен­татора и требуется поиск таких условий, при которых ее значения повысятся. Задачи типа 1 мы будем называть интерполяцион­ными, а типа 2 — экстремальными.

2. Объект исследования.

При планировании эксперимента основным элементом является «объект исследования». Для описания объекта исследования удобно пользоваться представле­нием о кибернетической системе, которая схематически изображена на рис. 1. Иногда такую киберне­тическую систему называют «чер­ным ящиком».

Рис. 1.

В схеме «черного ящика» рис. 1. стрелки справа изображают численные характеристики целей исследования. Они обозначаются буквой игрек и называются параметрами оптимизации. В литературе встречаются и другие названия: выход «черного ящика», целевая функция, критерий оптимизации.

Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого воздействия обозначены буквой икс и называются факторами. Их называют также входами «черного ящика».

При решении задачи обычно используются математические модели объекта исследования. Под математической моделью понимается уравнение, связывающее параметр оптимизации с фак­торами. Это уравнение в общем виде можно записать так:

).

Такая функция называется функцией отклика. Имеются приёмы, позволяющие эту функцию выбрать и построить.

При планировании эксперимента формируются условия проведения опытов. Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких значений. Такие значения называются уровнями. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много зна­чений (непрерывный ряд). Однако на практике для точности устанавливается некоторое конечное значение. Поэтому можно допустить, что всякий фактор можно характеризовать определенным числом дискретных уровней. Это допущение существенно облегчает построение «черного ящика» и эксперимента, а также упрощает оценку их сложности.

Фиксированный набор уровней факторов (т. е. установление каждого фактора на некоторый уровень) определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. При переборе всех возможных наборов состояний, получаем полное мно­жество различных состояний данного «ящика». Одновременно это будет число возможных различных опытов.

Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) воз­вести в степень числа факторов к: р^к, где р — число уровней. Реальные объекты, обладают огромной сложностью. Так, на первый взгляд простая система с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 со­стояний, а для десяти факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона!

На практике приходится отказываться от экспериментов, которые включают все возможные опыты: перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос: сколько и, каких опытов надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную за­дачу? Эта задача и решается с помощью планирования эксперимента.

Однако нужно иметь в виду, что при планировании экспери­мента не безразлично, какими свойствами обладает объект иссле­дования. Отметим два основных требования, с которыми прихо­дится считаться. Прежде всего, существенно, воспроизводятся ли на объекте результаты эксперимента. Для этого следует выбрать некоторые уровни для всех факторов и в этих условиях провести эксперимент. Затем повторим его несколько раз через неравные промежутки времени и сравним значения параметра оптимизации. Разброс этих значений характеризует воспроизводимость результатов. Если он не превышает некоторой заранее заданной величины (наших требований к точности эксперимента), то объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов, а если превышает, то не удовлетворяет этому требованию. Будем рассматривать только такие объекты, для которых требование воспроизводи­мости выполняется.

Планирование эксперимента предполагает активное вмеша­тельство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым. Это и есть второе требование к объекту исследования.

На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реаль­ный объект обычно действуют как управляемые, так и неуправ­ляемые факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизво­димость эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если требования воспроизводимости не выполняются, приходится об­ращаться к активно-пассивному эксперименту.

Возможно, плохая воспроизводимость объясняется действием фактора, систематически изменяющегося (дрейфующего) во вре­мени. Тогда нужно обращаться к специальным методам планиро­вания. Наконец, возможно, что все факторы неуправляемы. В этом случае возникает задача установления связи между пара­метром оптимизации и факторами по результатам наблюдений за поведением объекта, или, как говорят, по результатам пассивного эксперимента.

Однако теория планирования эксперимента в основном посвящена разработке методов планирования экстремального экспе­римента для воспроизводимых управляемых статических объектов.

Планирование экстремального эксперимента — это метод вы­бора количества и условий проведения опытов, минимально необ­ходимых для отыскания оптимальных условий, т. е. для решения поставленной задачи.

Приступая к знакомству с планированием экстремального эксперимента, надо иметь в виду, что при оптимизации распростра­нен так называемый детерминированный подход. При этом предполагается построение физи­ческой модели процесса на основании тщательного изучения механизма явлений, что позволяет получить математическую модель объекта в виде си­стемы дифференциальных уравнений. Несомненно, что детермини­рованный и статистический (связанный с планированием экспери­мента) подходы должны разумно дополнять друг друга.

2. Параметр оптимизации

При планировании экстремального эксперимента очень важно определить параметр, который нужно оптимизировать. Сделать это совсем не так просто, как кажется на первый взгляд. Цель исследования должна быть сформулирована очень четко и до­пускать количественную оценку. Будем называть характеристику цели, заданную количественно, параметром оптимизации. Пара­метр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной вами системы. Реакция объекта многогранна, многоаспектна. Выбор того аспекта, который представляет наибольший интерес, как раз и задается целью исследования.

При традиционном нематематическом подходе исследователь стремится как-то учесть разные аспекты, взвесить их и принять согласованное решение о том, какой опыт лучше. Однако разные экспериментаторы проведут сравнение опытов неодинаково. Раз­личия, зависят от опыта исследователя.

Прежде чем сформулировать требования к параметрам опти­мизации и рекомендации по их выбору, рассмотрим различ­ные виды параметров.

В зависимости от объекта и цели исследования параметры оптимизации могут быть весьма разнообразными. Чтобы ориен­тироваться в этом многообразии, введем некоторую классифика­цию (рис. 2). Мы не стремимся к созданию полной и детальной классификации. Наша задача — построить такую условную схему, которая включала бы ряд практически важных случаев и помогала экспериментатору ориентироваться в реальных ситуациях.

Реальные ситуации, как правило, сложны. Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда очень многих, парамет­ров. В принципе каждый объект может характеризоваться сразу всей совокупностью параметров, приведенных на рис. 2, или любым подмножеством из этой совокупности. Движение к оптимуму возможно, если выбран один единственный параметр оптимизации. Тогда прочие характеристики процесса уже не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями.

Другой путь — построение обобщенного параметра оптимиза­ции как некоторой функции от множества исходных.

Рис.2

Рассмотрим основные элементы схемы. Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль, себестоимость и рентабельность, обычно используются при иссле­довании действующих промышленных объектов, тогда как затраты на эксперимент имеет смысл оценивать в любых исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на эксперимент пропорциональны числу опытов, которые необходимо поставить для решения данной за­дачи. Это в значительной мере определяет выбор плана экспери­мента.

Среди технико-экономических параметров наибольшее распро­странение имеет производительность. Такие параметры, как долговечность, надежность и стабильность, связаны с длитель­ными наблюдениями. Имеется некоторый опыт их использования при изучении дорогостоящих ответственных объектов, например радиоэлектронной аппаратуры.

Почти во всех исследованиях приходится учитывать количе­ство и качество получаемого продукта. Как меру количества продукта используют выход, например, процент выхода годных изделий.

Показатели качества чрезвычайно разнообразны. Характеристики ко­личества и качества продукта образуют группу технико-техноло­гических параметров.

Под рубрикой «прочие» сгруппированы различные параметры, которые реже встречаются, но не являются менее важными. Сюда попали статистические параметры:, используемые для улучшения характеристик случайных величин или случайных функций. В качестве примеров назовем задачи на минимизацию дисперсии случайной величины, на уменьшение числа выбросов случайного процесса за фиксированный уровень и т. д. Последняя задача возникает, в частности, при выборе оптимальных настроек авто­матических регуляторов или при улучшении свойств нитей (про­волока, пряжа, искусственное волокно и др.).

С ростом сложности объекта возрастает роль психологических аспектов взаимодействия человека или животного с объектом. Так, при выборе оптимальной организации рабочего места опе­ратора параметром оптимизации может служить число ошибочных действий в различных возможных ситуациях.

Параметр оптимизации — это признак, по которому оптимизируется процесс. Он должен быть количественным, за­даваться числом. Он должен быть измеряемым при любой воз­можной комбинации выбранных уровней факторов. Множество значений, которые может принимать параметр оптимизации, называют областью его определения. Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции — это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью определения. Он может изменяться в интервале от 0 до 100%. Число бракован­ных изделий, число кровяных телец в пробе крови — вот примеры параметров с дискретной областью определения, ограниченной снизу.

Уметь измерять параметр оптимизации — это значит распо­лагать подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может не существовать или он слишком дорог. Если нет способа количественного измерения результата, то приходится восполь­зоваться приемом, называемым ранжированием (ранговым подхо­дом). При этом параметрам оптимизации присваиваются оценки — ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.

Ранг — это количественная оценка параметра оптимизации, но она носит условный (субъективный) характер. Мы ставим в соответствие качественному признаку некоторое число — ранг.

Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации можно построить ранговый аналог. Потребность в построении такого аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении иссле­дователя численные характеристики неточны или неизвестен способ построения удовлетворительных численных оценок. При прочих равных условиях всегда нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый подход менее чувстви­телен и с его помощью трудно изучать тонкие эффекты.

Примером рангового подхода может служить определение чемпиона мира по фигурному катанию или гимнастике, дегустация вин, сравнение произведений искусства и т. д.

Следующее требование: параметр оптимизации должен выра­жаться одним числом. Иногда это получается естественно, как регистрация показания прибора. Например, скорость движения машины определяется числом на спидометре. Чаще приходится производить некоторые вычисления. Так бывает при расчете вы­хода реакции. В химии часто требуется получать продукт с задан­ным отношением компонентов, например, А : B = 3 : 2. Один из возможных вариантов решения подобных задач состоит в том, чтобы выразить отношение одним числом (1,5) и в качестве пара­метра оптимизации пользоваться значениями отклонении (или квадратов отклонений) от этого числа.

Еще одно требование, связанное с количественной природой параметра оптимизации, — однозначность в статистическом смысле. Заданному набору значений факторов должно соответ­ствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. (Однако обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений факторов).

Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффектив­ность функционирования системы в заранее выбранном смысле.

Представление об эффективности не остается постоянным в ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информа­ции и в зависимости от достигнутых результатов. Это приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимиза­ции. Так, например, на первых стадиях исследования технологи­ческих процессов в качестве параметра оптимизации часто исполь­зуется выход продукта. Однако в дальнейшем, когда возмож­ность повышения выхода исчерпана, нас начинают интересовать такие параметры, как себестоимость, чистота продукта и т. д.

Говоря об оценке эффективности функционирования системы, важно помнить, что речь идет о системе в целом. Часто система состоит из ряда подсистем, каждая из которых может оцениваться своим локальным параметром оптимизации. При этом оптималь­ность каждой из подсистем по своему параметру оптимизации «не исключает возможности гибели системы в целом».

Требования эффективности параметра оптимизации имеют также статистический аспект. Он состоит в том, что параметры оптимизации должны определяться с возможно большей точностью. Если и эта точность недостаточна, тогда приходится обращаться к увеличе­нию числа повторных опытов.

Пусть, например, проводится исследование прочностных характеристик некоторого сплава. В качестве меры прочности можно использовать как прочность на разрыв, так и макротвер­дость. Поскольку эти характеристики функционально связаны, то с точки зрения эффективности они эквивалентны. Однако точность измерения первой характеристики существенно выше, чем второй. Требование статистической эффективности заставляет отдать предпочтение прочности на разрыв.

Следующее требование к параметру оптимизации — требова­ние универсальности или полноты. Под универсальностью пара­метра оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать объект. В частности, технологические параметры оптимизации недостаточно универсальны: они не учитывают экономику. Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры оптимизации, которые строятся как функции от не­скольких частных параметров.

2. Обобщенный параметр оптимизации

Единый параметр оптимизации выбирают путем обобщения ряда параметров. Из многих откликов, определяю­щих объект, очень часто трудно выбрать один, самый важный. Более сложная ситуация возникает когда необходимо множество откли­ков обобщать (свертывать) в единый количественный признак. С таким обобщением связан ряд трудностей.

Каждый отклик имеет свой физический смысл и свою размер­ность. Чтобы объединить различные отклики, прежде всего, при­ходится ввести для каждого из них некоторую безразмерную шкалу. Шкала должна быть однотипной для всех объединяемых откликов — это делает их сравнимыми. Выбор шкалы — не простая задача, зависящая от априорных сведений об откликах, а также от точности, с которой мы хотим определить обобщен­ный признак.

После того как для каждого отклика построена безразмер­ная шкала, возникает следующая трудность — выбор правила комбинирования исходных частных откликов в обобщенный показатель. Единого правила не существует. Здесь можно идти различными путями, и выбор пути неформализован.

Рассмотрим простейшие способы построения обобщенного отклика

Пусть исследуемый объект характеризуют n частных откли­ков у_u (и=1,2, . . ., n) и каждый из этих откликов измеряется в N опытах. Тогда y_ui ~ это значение u-ro отклика в i-м опыте (i=1,2, . . ., N). Каждый из откликов у_и имеет свой физический смысл и, чаще всего, разную размерность. Введем простейшее преобразование: набор данных для каждого у_и поставим в соот­ветствие с самым простым стандартным аналогом — шкалой, на которой имеется только два значения: 0 — брак, неудовлетворительное качество, 1 — годный продукт, удовлетворительное качество. Преобразованные значения обозначим так: у_иi — пре­образованное значение и-ro отклика в i-м опыте. Здесь мы при­менили шкалу, в которой использовано числовое множество из двух элементов (в данном случае 0 и 1). Стандартизовав, таким образом, шкалу частных откликов, приходим ко второму этапу — их обобщению. По какому же правилу следует комбини­ровать частные отклики?

В ситуации, когда каждый преобразованный частный отклик принимает только два значения 0 и 1, естественно желать, чтобы и обобщенный отклик принимал, одно из этих двух возможных значений, причем так, чтобы значение 1 имело место, если, и только если, все част­ные отклики в этом опыте приняли значение 1. А если хотя бы один из откликов обратился в 0, то и обобщенный отклик будет нулем.

При таких рассуждениях для построения обобщенного от­клика удобно воспользоваться формулой (1)

(1)

где Y_i — обобщенный отклик в i-м опыте;

— произведение частных откликов у_1i, y_2i, …y_ni.

Возможно, применение и более простой формулы

(2)

Рассмотренный прием оценки обобщенного отклика является весьма грубым, что следует из следующего примера.

Предположим, что производится испытание определенного продукта. Это может быть новый полимерный материал или изделие электронной техники. Любой продукт производства характеризуется многочисленными параметрами. Иногда число этих параметров превышает десяток. Каждый параметр характеризуется числом и определенной размерностью измеренной величины. Например, полимерный материал среди многочисленных параметров имеет такой параметр как морозостойкость, измеряемый в °С, предел прочности при растяжении, измеряемый в кг/см² и другие параметры.

Изделие электронной техники оценивается так же большим количеством параметров. Среди них может быть коэффициент усиления, измеряемый в децибелах, полоса пропускания, измеряемая в МГц, коэффициент гармоник, измеряемый в процентах и другие. Допустим, что общее количество оцениваемых параметров в обоих случаях равно 10.

Как было отмечено выше обобщенный отклик Y_i в i-м опыте определяется произведением частных откликов. Понятно, что бессмысленно перемножать величины, имеющие разную размерность, например полосу пропускания, измеренную в МГц умножать на коэффициент гармоник, измеренный в процентах. Ясно, что перед перемножением величины надо привести к единой размерности. Поскольку это невозможно, остается единственный вариант привести все измеренные параметры в безразмерные величины.

Простейший вариант заключается в том, что например, параметру – «полоса пропускания» присваивается значение 1, если полоса пропускания электронного изделия более 10 МГц, и 0- если полоса пропускания меньше 10 МГц. Параметру коэффициент гармоник присваивается 1, если коэффициент гармоник меньше 1% и ноль, если он превышает 1%. Могут быть за основу взяты и допуски на параметры в пределах (+ и -). Если параметр лежит в пределах допуска, то 1, если выходит за рамки допуска, то 0.

Теперь, определим величину . ВеличиныY_i теперь нормированы и имеют два значения 0 и 1. Если оценивается 10 параметров, и хотя бы один из них имеет значение ноль, то и произведение, характеризующее обобщенный параметр, имеет значение 0. Таким образом, изделие следует забраковать.

Однако остальные девять параметров могут характеризоваться 1, и по сути дела изделие не такое уж плохое, но оно бракуется.

Возможен и другой вариант: из 10 параметров 9 имеют 0, и только один параметр характеризуется 1. Такое изделие тоже бракуется. Однако качество его существенно хуже. Для того, что бы сделать первое изделие годным нужно оптимизировать всего лишь один параметр, а у второго следует оптимизировать девять параметров.

Возможны и другие частные случаи. Например, обобщённый параметр состоит из трех исходных и все они равны 1. Добавим еще один параметр, который окажется равным 0, и изделие, которое было ранее признано годным, переходит в категорию негодных.

Имеется и другой способ получения обоб­щенного отклика, который может применяться в тех случаях, когда для каждого из частных откликов известен «идеал», к ко­торому нужно стремиться. Существует много способов введения метрики, задающей «близость к идеалу». Дополним предыду­щие обозначения еще одним: у_u0 — наилучшее («идеальное») значение и-го отклика. Тогда y_ui — y_u0 можно рассматривать как некоторую меру близости к идеалу. Однако использовать разность при построении обобщенного отклика невозможно по двум причинам. Разность имеет размерность соответствующего отклика, а у каждого из откликов может быть своя размерность, что пре­пятствует, их объединению. Отрицательный или положительный знак разности также создает неудобство. Чтобы перейти к безразмерным значениям, достаточно разность поделить на желаемое значение: (y_ui — y_u0)/ y_u0

Чтобы нивелировать знаки, можно разность возводить в квад­рат. Тогда формула обобщенного отклика примет вид.

(3)

Если в некотором опыте все частные отклики совпадут с идеа­лом, то Y станет равным нулю. Это и есть то значение, к кото­рому нужно стремиться. Чем ближе к нулю, тем лучше. Следует подчеркнуть, что нуль здесь имеет другой смысл, чем в первом случае.

Среди недостатков такой оценки выделяется нивелировка частных откликов. Все они входят в обобщенный отклик на рав­ных нравах. На практике же различные показатели бывают далеко не равноправны. Устранить этот недостаток можно вве­дением некоторого веса а_u

(4)

Причем и а_u>0

Чтобы проранжировать отклики по степени их важности и найти соответствующие веса, можно воспользоваться экспертными оценками.

Рассмотренные способы построения обобщенного показателя являются простейшими. Для перехода к более сложным способам нужно научиться фиксировать более тонкие различия на шкале пре­образования откликов. Здесь в основном приходится опираться на опыт экспериментатора. Но, чтобы этот опыт разумно употре­бить в рамках формальных процедур, его тоже нужно формали­зовать.

Для этого надо ввести систему предпочтений экспериментатора, на множестве значений каждого частного отклика, получение стандартной шкалы и затем обобщение результатов.

Пользуясь системой предпочтений, можно получить более содержательную шкалу вместо шкалы классификаций с двумя классами. Такая шкала носит название шкалы желательности.

2. Шкала желательности

Одним из наиболее удобных способов построения обобщен­ного отклика является обобщенная функция желательности Харрингтона. В основе построения этой обобщенной функ­ции лежит идея преобразования натуральных значений частных откликов в безразмерную шкалу желательности или предпочти­тельности. Шкала желательности относится к психофизическим шкалам. Ее назначение — установление соответствия между фи­зическими и психологическими параметрами. Здесь под физи­ческими параметрами понимаются всевозможные отклики, ха­рактеризующие функционирование исследуемого объекта. Среди них могут быть эстетические и даже статистические параметры, а под психо­логическими параметрами понимаются чисто субъективные оценки экспериментатора желательности (предпочтительности) того или иного значения отклика. Чтобы получить шкалу желательности, удобно пользоваться готовыми разработанными таблицами со­ответствий между отношениями предпочтения в эмпирической и числовой (психологической) системах (табл.1).

Таблица 1 Стандартные отметки на шкале желательности.

Желательность	Отметки по шкале желательности
Очень хорошо Хорошо Удовлетворительно Плохо Очень плохо	1,00-0,80 0,80-0,63 0,63-0,37 0,37-0,2 0,2- 0,00

Значение частного отклика, переведенное в безразмерную шкалу желательности, обозначается через d_u (u = 1, 2, . . ., n) и называется частной желательностью. Шкала желательности имеет интервал от нуля до единицы. Значение d_u = 0 соответствует абсолютно неприемлемому уровню данного свойства, а значение d_u = l — самому лучшему значению свойства. Понятию «очень хорошо» соответствуют значения на шкале желательности 1 > d_u > 0,8, а понятию «очень плохо» — 0 < d_u < 0,2 и т. д. Выбор отметок на шкале желательности 0,63 и 0,37 объясняется удобством вычислений: 0,63 ≈ 1 — (1/е), 0,37 ≈1/е. Значение d_u = 0,37 обычно соответствует границе допустимых значений.

Выбор чисел в таблице 1 объясняется достаточно просто. В ней представлены числа, соот­ветствующие некоторым точ­кам кривой (рис. 3), которая задается уравнением d = exp[—ехр(—у)].

На оси ординат нанесены значения желательности, изменяющиеся от 0 до 1. По оси абсцисс указаны значения отклика, записанные в услов­ном масштабе. За начало отсчета 0 по этой оси выбрано значение, соответствующее желательности 0,37. Выбор именно данной точки связан с тем, что она является точкой перегиба кривой, что в свою очередь создает определенные удобства при вычи­слениях. То же самое верно для значения желательности, соот­ветствующего 0,63. Выбор этой кривой не является единственной возможностью. Однако она возникла в результате наблюдений за реальными решениями экспериментаторов и обладает такими полезными свойствами как непрерывность, монотонность и глад­кость. Кроме того, эта кривая хорошо передает тот факт, что в областях желательностей, близких к 0 и 1, «чувствительность» ее существенно нише, чем в средней зоне.

Рис.3

Симметрично относительно нуля на оси у' (у' — кодирован­ная шкала) расположены кодированные значения отклика. Зна­чение на кодированной шкале принято выбирать от 3 до 6. Например, на рис.3 использовано шесть интервалов в сторону убы­вания и шесть — в сторону возрастания. Выбор числа интервалов определяется крутизной кривой в средней зоне.

Естественно возникает вопрос, на каком основании устанавли­ваются границы допустимых значений для частных откликов. При этом нужно иметь в виду, что ограничения могут быть одно­сторонними в виде у_и ≤ у_1max или у_и ≥ y_min и двусторонними в виде y_min ≤ у_u ≤ у_тaх. Здесь возможны две ситуации. Первая, самая благоприятная, возможна, если экспериментатор распо­лагает инструкцией, в которой четко сформулированы требова­ния ко всем частным откликам, т. е. имеется спецификация с одним или двумя ограничивающими пределами. Тогда отметка на шкале желательности d_u=0,37 соответствует y_min, если имеется одно­стороннее ограничение у_и > y_min или у_тaх для у_и ≤ у_mах. В слу­чае двустороннего ограничения этой отметке ставится в соответ­ствие и y_min и у_тaх . Во второй ситуации спецификация отсутствует, тогда ограничения на шкале и другие отметки делаются весьма субъективно, на основании опыта и интуиции экспериментатора. Совершенно очевидно, что в таком случае довольно опасно руко­водствоваться мнением одного-единственного исследователя, а же­лательно учесть мнения нескольких специалистов. При обобще­нии ряда мнений и установлении степени согласованности между различными специалистами можно воспользоваться методом ран­говой корреляции.

2. Преобразование частных откликов в частные функции желательности

На практике характерен случай, когда существует специфика­ция с одним или двумя ограничивающими пределами и эти пре­делы являются единственными значениями качества. Тогда вне пределов d_u=0, а внутри пределов d_u=1.

Пусть y_min — нижний предел спецификации и у_и ≥ у_min. При таком одностороннем ограничении частная функция жела­тельности будет иметь вид

Аналогично для двустороннего ограничения получаем:

Из приведенных неравенств, очевидно, что шкала желательности выродилась в простую шкалу классификации с двумя классами эквивалентности, что графически представлено на рис.4.

Рис 4

На рис.4: а) - одностороннее ограничение, б) -двухстороннее ограничение. Но такое положение, когда ограничивающие пределы спецификации являются единственными кри­териями качества, встречается довольно редко, так как трудно разделить результаты твердой границей на две категории: годен, не годен. Поэтому преобразования частных откликов в их стан­дартные аналоги на шкале желательности осуществляются по более сложным законам. Примером такого более сложного пре­образования служит таблица желательности (табл. 1) и соответ­ствующая ей функция желательности.

При односторонних ограничениях у_и ≤ y_max или у_и ≥y_min на рис. 5 представлена частная функция желательности для свойства, ограниченного с одной стороны. К числу свойств, подчиняющихся одностороннему ограничению, относятся очень многие характеристики качества материалов: теплостойкость, прочность, ударная вязкость, морозостойкость, модуль упру­гости, относительное удлинение при разрыве и т. д. Для всех этих показателей ограничение имеет вид у_и ≥y_min.

Другой вид одностороннего ограничения у_и ≤ y_max характе­рен для таких показателей, как содержание различных вредных примесей, влажность, удельный вес, содержание дорогих или дефицитных компонентов и т. п.

Для двустороннего ограничения y_min ≤ у_u ≤ у_тaх пример функции желательности показан на рис. 6. Случай

двусторон­него ограничения встречается не так часто, как одностороннего, и он более сложен для оценки откликов.

Рис. 5

Рис. 6

Рис.5

Рис.6

Шкала желательности есть попытка формализации представлений экспериментатора о важности тех или других значений частных откликов. Нет никакой гарантии, что такие представления можно считать правильными. Особенно, если не существует специфика­ции. В тех случаях, когда шкала желательности создается сов­местно экспериментатором и консультантом по планированию эксперимента, можно представить себе и такую ситуацию, когда не было между ними достаточно глубокого взаимопонимания и шкала получилась неудачной. Тогда нужно учесть все недостатки и построить другую шкалу, более точно отражающую предпочти­тельность значений откликов.

2. Обобщенная функция желательности

После того, как выбрана шкала желательности и частные отклики преобразованы в частные функции желательности, можно приступить к основной задаче — построению, обобщенного по­казателя D, названного Харрингтоном обобщенной функцией желательности. Обобщать, то есть переходить от d_i к D, предла­гается по формуле

(5)

Здесь обобщенная функция желательности задается как сред­нее геометрическое частных желательностей. Такое представле­ние можно рассматривать как удобную модель психологической реакции исследователя, ко­торая возникает при реше­нии определенного класса задач. Примером может служить установление при­годности материала с дан­ным набором свойств для использования его в задан­ных условиях.

Если хотя бы один частный отклик, входящий в комплекс параметров качества материала, не удовлетворяет требованиям спецификации (например, при определенной темпе­ратуре материал стано­вится хрупким и разру­шается), то как бы ни были хороши прочие свойства, этот материал не может быть использован по наз­начению. Действительно, способ задания обобщен­ной функции желательности таков, что если хотя бы одна частная желательность, d_u=0, то обобщенная функция с другой стороны D = l тогда и только тогда, когда все d_u=l (u=1, 2, . . ., п). Обобщенная функция желательности весьма чувствительна к малым значениям частных желательностей.

Можно представить себе другие задачи, когда столь жесткие свойства обобщенного критерия окажутся неприемлемыми. Тогда нужно перейти к другим способам обобщения.

Способ задания базовых отметок шкалы желательности, пред­ставленный в табл.1, один и тот же как для частных желатель­ностей, так и для обобщенной. Так, если d₁, d₂, . . . d_n =0,63, то и D=0,63, если d₁, d₂, . . ., d_n = 0,37, то и D =0,37 и т. п. В обоб­щенную функцию желательности могут входить самые разно­образные частные отклики: технологические, технико-экономи­ческие, экономические, эстетические и т. п.

Рассмотрим порядок построения обобщенной функции желательности.

Производится разработка оптимальной рецептуры нового полимерного материала, качество которого оценивается семью выходными параметрами: у₁ – термостабильность, мин; у₂ –блеск (баллы), у₃ – морозостойкость, ⁰С ; у₄ – модуль упругости при +20⁰ С, кгс/см² ; у₅ – предел прочности при растяжении, кг/см² ; у₆ – относительное удлинение при разрыве, % ; у₇ – число перегибов до разрушения, шт.

Построим график шкалы желательности, подобно изображенному на рис.3. На рис.7 приведены значения величин у₁ - у₇ (частных откликов) полученные в при повторных экспериментах. Каждому отклику соответствует свое значение обобщенного критерия d. Так например у₁ соответствует d₁…..а, у₇ – d₇ . Более подробно результаты, полученные в девяти экспериментах показаны в таблице 2.

Рис.7

Таблица 2 Натуральные и обобщенные по функции желательноcти отклики

	Натуральные частные отклики Частные желательности																								W3				W4
Номер опыта	У1	У2	Уз	У4		У5	У6	У7		d1		d2		d3		d4		d5	d6	d7		D1		W1		D2		W2
1	272	14	- 25	103		215	299	103		0.98		0.67		0.80		0.71		0.55	0.80	1,00		0.772		хор.		0.761		хор.
2	187	20	-23	91		179	254	29		0.77		0.36		0.73		0.79		0.32	0.53	0.29		0.500		УД-		0.407.		УД-
3	162	21	—24	102		216	270	99		0.68		0.35		0.75		0.72		0.55	0.56	0.99		0.630		хор.		0.742		хор.
4	461	14	—25	114		198	251	54		1.00		0.67		0.80		0.47		0.3S	0.53	0.57		0.603		УД-		0.558		УД-
5	257	14	-21	105		208	268	31		0.97		0.67		0.70		0.63		0.44	0.54	0.39		0.595		УД-		0.493		УД-
6	250	24	—27	99		220	304	46		0.95		0.32		0.90		0.70		0.6Э	0.81	0.48		0.646		хор.		0.621		УД-
7	489	12	—25	123		201	238	33		1.00		0.72		0.80		0.35		0.38	0.50	0.40		0.533		УД-		0.495		УД-
8	380	14	-23	116		230	292	126		1.00		0.67		0.73		0.44		0.67	0.79	1.00		0.733		хор.		0.788		хор.
9	580	29	—22	100		215	304	48		1.00		0.30		0.72		0.70		0.55	0.81	0.52		0.626		УД-		0.603		уд.

Из таблицы следует, что при повторных испытаниях материала состоящего из разного состава компонент, параметр у₁ принимал значения в пределах от 162 до 580, а параметр у₂ от 12 до 20, в принятых единицах измерений. Каждому из приведенных в таблице значений соответствует свой параметр d. Далее в таблице приведены значения оценки полученных результатов по двум критериям D₁ и D₂.

Критерий D₁ учитывает все семь факторов, а D₂ только три. Их величины вычислены в соответствии с формулами (6) и (7):

(6)

(7)

Вычисленные значения D₁ и D₂ позволяют дать оценку по шкале желательности - показатели W₁ и W₂. Так, например, в опыте под номером 1, значение D₁ оказалось равным 0,772. В соответствии с таблицей 1 это значение попадает в интервал 0,80-0,63, и, следовательно, должно получить оценку хор.

Таким образом, по обобщенному критерию D₁ четыре рецептуры получили оценку хорошо, и пять удовлетворительно, а по критерию D₂ три рецептуры оценены положительно, шесть удовлетворительно.

Рассмотренный способ получения обобщенного критерия относится к категории графического. Но часто приходится прибегать к аналитической зависимости, особенно при систематических исследованиях одного и того же объекта. Тогда можно использовать полиномы невысоких степеней, обычно первой или второйi степени. Проверка пригодности того или иного полинома является специальной статистической задачей.

Располагая информацией о у'_i мы можем рассчитать d_i по формуле d_i = exp[—exp(— у')].

Для получения кодированных значений у'_i в данном примере взяты три равномерных интервала, т. е. выбран код: —3, —2, —1, О, +1, +2, +3. Кодированные значения откликов относятся к верхней границы интервала.

Такой код можно поставить в соответствие абсциссе однажды построенной кривой. Если требуется регулировать ее крутизну, то это можно сделать изменением числа интервалов. Чтобы приспособить такую стандарт кривую к реальным частным откликам, достаточно дополнить табл. 1.следующей информацией:

Таблица 3

di	у'i	y1	y2	y3	y4	y5	y6	y7
1,00—0,80	3,0	300	7	—30	80	300	330	100
0,80—0,63	1,5	200	10	—25	90	250	280	80
0,63—0,37	0,85	120	15	—20	105	220	250	60
0,37—0,20	0,00	100	20	—18	120	200	200	25
0,20—0,00	—0,50	95	40	—15	130	150	150	20

Обобщенная функция желательности является некоторым абстрактным построением и поэтому, прежде чем рекомендовать качестве единого критерия оптимизации, представлялось интересным исследовать такие ее важные свойства, как адекватность, статистическая чувствительность и эффективность. Оказалось, что для шкал желательности статистическая чувствительность и эффективность частных и обобщенной функций желательности не ниже, чем таковые для любого технологического показателя, им соответствующего.

Обобщенная функция желательности является количествен­ным, однозначным, единым и универсальным показателем ка­чества исследуемого объекта, и если добавить еще такие свой­ства, как адекватность, эффективность и статистическая чувстви­тельность, то становится ясным, что ее можно использовать в ка­честве критерия оптимизации.

Обобщенная функция желательности нашла широкое при­менение для оценки качества полимерных материалов, резино­вых и латексных изделий, а также при. разработке различных рецептур. Используется она в последнее время также и в промышленности.

Подводя итог рассмотренным вопросам отметим, что построение обобщенного параметра оптимизации связано с со­зданием единого признака, количественно определяющего функци­онирование исследуемого объекта с многими выходными пара­метрами. При этом возникают некоторые трудности. Каждый выходной параметр—отклик—имеет свой физический смысл, свою размерность. Чтобы объединить различные отклики, необхо­димо ввести единую для всех откликов искусственную метрику. Набор данных каждого отклика нужно поставить в соответствие с некоторым стандартным аналогом, с безразмерной шкалой. Поэтому первым вопросом, который нужно решить при построе­нии обобщенного параметра оптимизации, является вопрос о вы­боре шкалы. Шкала должна быть однотипной для всех объеди­няемых, откликов. Построение шкалы во многом зависит от уровня априорных сведений о выходных параметрах, а также от той точности, с которой мы хотим определить обобщенный отклик.

Второй важный вопрос — выбор правила комбинирования исходных частных откликов в обобщенный показатель. Единого правила не существует, здесь можно идти различными путями, и выбор пути неформализован.

2.Факторы

1. Общие понятия

Переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента называется фактором (ГОСТ 24026-80 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения).

После того как выбран объект исследования и параметр опти­мизации, нужно включить в рассмотрение все существенные факторы которые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтенным, то это может при­вести к отрицательным последствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно флуктуировал - принимал случайные значения, ко­торые экспериментатор не контролировал, - это значительно увеличит погрешность опыта. При поддержании фактора на некотором фиксированном уровне может быть получено ложное представле­ние об оптимуме, так как нет гарантии, что фиксированный уро­вень является оптимальным.

Ранее отмечалось, что число различных состояний объекта определяется соотношением: р^k , где р -число уров­ней а k - число факторов. Очевидно, что чем больше факторов, тем больше необходимо производить опытов. Число опытов растет по пока­зательной функции. Размерность факторного пространства уве­личивается.

Если число факторов больше пятнадцати, нужно обратиться к методам отсеивания несущественных факторов. Здесь можно воспользоваться формализацией априорной информации, методом случайного баланса, планами Плаккета-Берыана и др. Иногда эти планы применяются и при меньшем числе факторов.

Однако следует обратить внимание на важность выбора факто­ров, влияющих на процесс, на опасность пропуска существен­ного фактора. От удачного выбора факторов зависит успех оптимизации.

Как отмечалось выше, фактором называется измеряемая переменная величина, при­нимающая в некоторый момент времени определенное значение. Эта величина подвергается измерению. Выбор фактора при проведении эксперимента определяется способом воздействия на объект иссле­дования.

Так же, как и параметр оптимизации, каждый фактор имеет область определения. Можно считать фактор заданным, если вместе с его названием указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех зна­чений, которые в принципе может принимать данный фактор. Ясно, что совокупность значений фактора, которая используется в эксперименте, является подмножеством из множества значений, образующих область определения.

Область определения может быть непрерывной и дискретной. Однако в задачах планирования эксперимента, всегда используются дискретные области определения. Так, для факторов с непрерывной областью определения- температура, время, количество ве­щества и т. п., всегда выбираются дискретные множества уровней. В практических задачах области определения факторов, как правило, ограничены. Ограничения могут носить принципиаль­ный либо технический характер.

Факторы разделяются на качественные и количествен­ные. Качественные факторы — это разные ве­щества, разные технологические способы, аппараты, исполни­тели и т. д. Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала в том смысле, как это понимается для количественных факторов, однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа на­турального ряда, т. е. производит кодирование. Порядок уровней может быть произволен, но после кодирования он фиксируется.

К количествен­ным факторам можно отнести температуру, атмосферное давление, время реакции, напряжение питания. Величины количественных факторов подлежат измерениям.