Данные обработки

		1	... j…	k
Блоки	1
	…
	i
	…
	n

Рис. 3.3. Общая модель задачи двухфакторного анализа

Пусть имеется ряд объектов (факторов), 1, 2, 3 ........n, в разной степени обладающих одним и тем же качеством x и проранжированных в отношении этого качества m экспертами, см. рисунок 3.3. При анализе ответов экспертов необходимо выявить согласованность их мнений по вышеперечисленным факторам. Это задача двухфакторного анализа. Для проверки используется непараметрический критерий Фридмана (для произвольных альтернатив) [5,6]:

Принимаем модель:

…………………………….3.13

где

 –неизвестное общее среднее;

i –эффект блока i (параметры  – неизвестные мешающие параметры)

j –неизвестный эффект обработки j

…………………………….3.14

………………………………..3.15

i и j – отклонения от  в результате действия факторов (блоков и обработок). Для однозначной определенности принимаем, что все случайные ошибки взаимно независимы, одинаково распределены и извлечены из одной непрерывной совокупности. Гипотеза Н0

₁ = ₂ = ... _к = 0………………………………….3.16

против альтернативы о том, что не все  равны между собой. Другими словами, предположим, что влияние обработок отсутствует.

В непараметрической задаче от значений Х_ij переходим к рангам R_ij и строим матрицу рангов. В данной задаче, блоки  эксперты (по строкам); обработки  факторы (по столбцам). Предположим, что влияние самих факторов на оценки экспертов отсутствует, т.е. оценки экспертов не случайны (гипотеза Н0) [4, 5, 6].

В двухфакторном анализе ранжирование происходит поблочно, т.е. рассматривается каждая отдельная строка таблицы. Тем самым устраняется влияние обработок (факторов). Ясно, что значения рангов в строке изменяются от 1 до k (исключая случай присвоения нескольким факторам одинаковых рангов). Соответствующая строка рангов представляет собой некоторую перестановку чисел 1,2,..., k. При рассматриваемой гипотезе все k! перестановок равновероятны. Величина R.j = 1/n r_ij является средним значением рангов по столбцу j. При гипотезе Н0 в силу равновероятности всех перестановок рангов в каждой строке значение для каждогоj не должно сильно отличаться от величины R.. =(k+1)/2, которая представляет собой общий средний ранг всех элементов таблицы рангов. Сумма рангов по всей таблице есть n*k*(k+1)/2. Средний ранг получается делением на число (n*k) элементов таблицы, как показано на рисунке 3.3.

Для проверки гипотезы о случайности совпадения мнений экспертов используются статистика Фридмана S [5,6] или коэффициент конкордации W (согласия), который линейным преобразованием связан со статистикой Фридмана [5,6].

Величина S может меняться от 0 до 70, причем её равенство максимальным значениям означает полное совпадение мнений экспертов, а равенство нулю означает, что связи между оценками экспертов не существует. Таким образом, проверяется согласованность мнений экспертов.

Статистика Фридмана S для проверки гипотезы Н0 имеет следующий вид (3.17):

………………………………………………3.17

Здесь множитель, стоящий перед знаком суммы добавлен того, чтобы S имела простое асимптотическое распределение. Для автоматических вычислений более удобна форма 3.18:

…………………………3.18

Если в строке рангов есть повторяющиеся значения, то статистика S вычисляется по формуле 3.19:

………………………3.19

где r_ij  число групп связанных наблюдений в блоке i.

t_ij  объем j-ой связанной группы в блоке i.

При этом наблюдения, не равные никакому другому наблюдению внутри блока, рассматриваются как связи объема 1. При справедливости гипотезы Н0 величины (R.j  R..) в выражении (3.19) с большой вероятностью сравнительно малы для всех j, и, следовательно, значение S сравнительно невелико. А при нарушении Н0 суммы рангов в одних столбцах будут тяготеть к превышению значения среднего ранга, а в других  к уменьшению этого значения, в зависимости от знака величины tj ¹0. Это приводит к возрастанию статистики Фридмана. Следовательно,

• гипотеза Н0 принимается на уровне значимости a = 0.05 , если S<S(a, k, n)

• и отвергается в пользу альтернативы при S ³ S(a, k, n)

Критическое значение S(a, k, n) находят как решение уравнения 3.20:

Р{ S ³ S(a, k, n)}= a……………………………3.20

где вероятность Р вычисляется при справедливости гипотезы Н0.

Для небольших значений n и k величина S(a, k, n) может быть найдена из таблиц. При больших n для выбора критических значений приходится пользоваться аппроксимацией. Она основана на том факте, что при справедливости гипотезы Н0 и n ®¥ статистика Фридмана асимптотически распределена как c-квадрат с (k-1) степенями свободы. В этом случае критерий для проверки гипотезы Н0 сводится к следующему:

• гипотеза Н0 принимается на уровне значимости a, если S< S(a, k, n)

• и отвергается в пользу альтернативы при S ³ S(a, k, n)

Коэффициент конкордации (согласия) линейным преобразованием связан со статистикой Фридмана (3.21 и 3.22):

……………………………….3.21

……………………………………………….3.22

В качестве примера рассмотрим влияние наличия корпоративной сотовой связи на промышленном предприятии на следующие восемь факторов производства:

• Рост производительности труда управленческого персонала;

• Повышение оперативности решения вопросов управления;

• Улучшение качества продукции;

• Снижение себестоимости продукции;

• Улучшение использования основных фондов;

• Сокращение транспортных затрат;

• Сокращение производственного цикла;

• Снижение потерь рабочего времени.

Известно, что сотовая связь сейчас неотделима от жизни. Число проданных и подаренных SIM-карт сотовыми операторами уже превысило 150 миллионов, что больше, чем все население России, включая грудных младенцев и глубоких стариков. При этом установлено, что менеджеры промышленных предприятий очень не любят использовать сотовые личные номера для производственных нужд, если им не оплачивают соответствующие услуги связи. Поэтому компании покупают корпоративные тарифные планы и подключают к ним телефоны сотрудников или раздают корпоративные SIM-карты для минимизации расходов на связь.

Оценку влияния наличия корпоративной сотовой связи на производственные факторы производят десять экспертов. Решение задачи производится на персональном компьютере при помощи программы «Эксперт», разработанной под руководством А.Г. Микиртичана на кафедре ОПАБУ МТУСИ для ПК с операционными системами Windows 95, Windows 98, Windows 2000 и Windows ХР.

Эксперты регистрируются и приступают к заполнению индивидуальных ранговых таблиц, которые затем аналитиком сводятся (по строкам) в результирующую матрицу, представленную на рисунке 3.1. Программа рассчитывает значение статистики Фридмана и строит результирующую гистограмму важности оцениваемых факторов, показанную на рисунке 3.2.

При необходимости задача может быть решена повторно. Для этого гистограммы результатов по каждому параметру могут быть индивидуально выведены на экран, распечатаны и проанализированы. Проверяется согласованность мнений экспертов при помощи статистики Фридмана. Если значение статистики Фридмана менее 35, расчет не производится и результаты работы экспертов бракуются. Экспертам (студентам) предлагается проанализировать ситуацию повторно

Рисунок 3.1. Результирующая матрица рангов

Рисунок 3.2. Результирующая гистограмма важности оцениваемых факторов.

По результатам расчетов для приведенного примера можно отметить, что наибольшее влияние наличие корпоративной сотовой связи оказывает на рост производительности труда управленческого персонала и повышение оперативности решения вопросов управления. Этим факторам присвоены наименьшие ранги. По результатам работы экспертов можно сделать вывод о том, что согласованность оценок экспертов очень высока (статистика Фридмана имеет значение более 64 при максимуме 70), что позволяет предположить, что полученные результаты содержат объективную информацию.

57