Задачи / СБОРНИК ЗАДАЧ

16

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ “ Количественный анализ финансовых операций “.

1.НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ.

1.1.В начале года в сбербанк было положено 1640000 руб. и в конце года было взято 882000 руб. Ещё через год на депозите снова оказалось 882000 руб. Сколько процентов начисляет сбербанк в год ?

1.2.Первоначально цену товара снизили на 10%, затем цену снизили на 20%. После этого цену снизили ещё на 25%.На сколько всего процентов снизили цену ?

1.3.Население в городе в начале первого года было 150000 человек. В конце года из других мест в город прибыло 12000 человек. В результате естественного прироста (рождения детей) и вновь прибывших в конце второго года население в городе составило 171495 человек. Определить процент естественного прироста населения за один год.

1.4. Банк предлагает 60% годовых. Инвестор, делая вклад, желает иметь на счёте в банке через два года 10,8 млн. руб. Рассчитайте сумму первоначального вклада.

1.5. Инвестор имеет 1 млн. руб. и хочет, вложив их в банк на депозит, получить через два года 4 млн. руб. Рассчитайте значение процентной ставки.

1.6. Получив годовой кредит в 5 млн. руб. под ставку 12% финансовый посредник капитализирует его по той же самой ставке с периодичностью в 3 месяца. Каковы годовая процентная маржа и чистый доход, полученные им с помощью «коротких денег».

1.7. Что выгоднее: вложить 10 тыс. руб. на 4 месяца под годовую ставку 24% или на год под 25%?

1.7. Что выгоднее: вложить 10 тыс. руб. на 4 месяца под годовую ставку 24% или на год под 25%?

1.8. Что выгоднее: вложить 20 тыс. руб. на 3 месяца под годовую ставку 48% или на 6 месяцев под 50%?

1.9. Имеются два обязательства. Условия первого: S₁=400 тыс. руб.,n₁=4 мес.; условия второго:S₂ =420 тыс. руб., n₂ =9 мес.

1. Найти ставку простого процента, при которой эти обязательства равноценны.

2. Допустим, что расчёт современных величин производится по ставке простых процентов i= 0,1.Какое из этих обязательств выгоднее для получателя денег?

1.10. Выдан кредит в 2 млн. руб. на 6 мес. под 200% годовых. Найти эффективную ставку процента.

1.11. Вкладчик внёс в сбербанк под определённый процент 20 тыс. руб. Через год он снял со счёта половину процентной прибавки , а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Ещё через год у вкладчика на счету оказалось 26400 руб. Каков процент годовых по вкладу в сбербанке?

1.12. В банк положен вклад под определённый процент годовых. Через год вкладчик снял 1 / 3 часть получившейся суммы. Банк увеличил процент годовых в 1,5 раза по сравнению с предыдущим годом, и ещё через год получившаяся сумма превысила первоначальный вклад на 4%. Каков новый процент годовых у банка?

1.13. На острове Омега в результате инфляционных процесов цены выросли на 300%. Оппозиция потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. На сколько должны быть уменьшены цены?

14. . Переводной вексель выдан на сумму 100 мыс. Руб. с уплатой 17.11. Владелец учел его в банке 23.09 по учетной ставке 8 %. Какова полученная сумма.

15. Ссуда в 100 тыс. руб. выдана в невисокосном году 10.01 до 06.10 под годовую учетную ставку 0,08. Найдите размер погасительного платежа при условии, что наращение производится простыми процентами.

16. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6 %.

17. В какую сумму обратится долг, равный 10 тыс.руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 5,5 %.

18. Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной процентной ставки 0,12. Найдите эффективную годовую процентную ставку при ежеквартальной капитализации процентов при временной базе 365 дней.

19. Компания по переработке древесины владеет лесоматериалом «на корню», стоимость которого в году t оценивается по формуле V (t) = 2 (1 + 0,3 t) . Годовая процентная ставка в рассматриваемый период времени при начислении сложных процентов равна 0,1.

а)Определите современную стоимость лесоматериала, если он обрабатывается и продается через 1 год, 6, 7 и 8 лет.

б)Дайте рекомендации по использованию лесного массива.

в) Решите задачу в общем виде, т. е. найдите оптимальный срок t продажи в зависимости от ставки начисления i .

15. Студент имеет 100 долл. и решает: сберечь их или потратить. Если он положит деньги в банк, то через год получит 112 долл. Инфляция составит 14% в год.

а) Какова номинальная процентная ставка ?

б) Какова реальная процентная ставка?

в) Что Вы посоветовали бы студенту ?

г) Как повлияло бы на Ваш совет снижение темпа инфляции до 10% при неизменной номинальной ставке процента ?

2.ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ.

1. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $1000 на ренту с полугодовым платежом по $600. Годовая ставка процента 8 %.

2. Каким должен быть платеж конечной годовой ренты длительностью 8 лет, чтобы ее современная величина была 16000 при ставке 10 %.

3. В ходе судебного заседания выяснилось , что г.N недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние 2 года налоги вместе с процентами (5% ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г.N ?

4. В ходе судебного заседания выяснилось,что по вине Пенсионного фонда г.N в течение 10 лет недоплачивали 100 руб. пенсии ежемесячно. Суд обязал фонд выплатить все недоплаченные деньги с процентами (12% годовых). Какова сумма выплаты ?

Указание. В этой задаче для облегчения расчётов целесообразно перейти к наращению по непрерывной ставке.

5. Предполагается, что станок будет служить 3 года, принося ежегодный доход в 2000 долл. Его остаточная стоимость к концу третьего года составит 6000 долл. Определите цену станка, полностью направляемую на покрытие издержек, если:

а) Ставка процента составляет 8%;

б) Ставка процента равна 10%;

в) Ставка процента равна 8%, но предполагаемая инфляция составит 7% в год

г) Прокомментируйте производственную ситуацию, когда реальная текущая стоимость станка превышает рассчитанную Вами цену.

6. Студент,который держит деньги на банковском счёте при 8%-ой ставке, решил подписаться на журналы. Годовая подписка стоит 12 долл., а двухгодичная-22 долл.

а) Что бы Вы посоветовали студенту?

б) В какую сумму обошлась ему подписка на второй год?

7. Приведём задачу, основанную на сопоставлении переменных рент с постоянными абсолютными приростами платежей.

Однажды босс, будучи в хорошем расположении духа, сказал своей секретарше:

-Учитывая, что вы никогда не берёте отпусков, я решил каждый год увеличивать вашу зарплату на 100 долл. С сегодняшнего дня в течение ближайшего года вы будете получать зарплату из расчёта 600 долл. в год; в следующем году ваша зарплата составит 700 долл.; в следующем-800 и т. д., то есть через каждый год она будет возрастать на 100 долл.

-Моё слабое сердце,- ответила секретарша,- не выдержит столь резких изменений. Пусть начиная с этого дня, зарплата мне, как вы и сказали, выплачивается из расчёта 600 долл. в год, но пусть в конце шестого месяца моя годовая зарплата увеличится на 25 долл. и продолжает возрастать на 25 долл. через каждые шесть месяцев до тех пор пока моя работа будет вас удовлетворять

Босс милостиво улыбнулся своей преданной секретарше и согласился на её вариант, но блеск его глаз побудил одного из сотрудников подсчитать, мудро ли он поступил, приняв предложение своей служащей. А как считаете вы?

2.8. Предположим, что две ваши бабушки оставили вам завещание на получение определённой суммы денег. По первому завещанию условия таковы: 50 тыс. руб. сейчас и ещё 50 тыс. руб. – через год. По второму завещанию – 10 тыс. руб. сейчас, 50 тыс. – через год, и ещё 50 тыс. в конце второго года. Вы можете выбрать только одно из завещаний. Какой вариант вы предпочтёте, если рыночная ставка процента равна:

а) 5%, б) 15% ?

2.9. Какую сумму денег Вы будете готовы внести в Пенсионный фонд для того, чтобы выйдя на пенсию в течение всей оставшейся жизни иметь годовой доход в размере 800 тыс. рублей. Процентная ставка составляет 20%.

ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПРОЕКТЫ.

3.1. Для оценки инвестиционного проекта с капитальными начальными вложениями в размере 150 тыс. долл. компания АБВ применяет ставку дисконтирования 0,1. За каждый год в течение всего 10-летнего срока реализации проекта картина денежных доходов и расходов будет одной и той же:

Выручка	Переменные издержки	Постоянные издержки	Амортизация	Налоги
375	300	30	15	15

а) Определите денежный поток по данному проекту .

б) Чему равна чистая текущая стоимость проекта ?

2. Имеются варианты инвестиционного проекта, которые характеризуются следующими потоками платежей

А	-100	-150	50	150	200	200
Б	-200	-50	50	100	100	200	200

Требуется оценить целесообразность выбора одного из них в зависимости от принятого измерителя эффективности и при условии, что ставка сравнения принята на уровне 10 %.

3.3. Предприятие имеет возможность выбрать агрегат из трех предложенных вариантов, каждый из которых обеспечивает выпуск запланированного годового объема продукции. Варианты различаются себестоимостью годового выпуска и капитальными вложениями.

Вариант	Капиталовложения на внедрение агрегата, млн.руб	Себестоимость годового выпуска продукции, млн.руб.
1	400	70
2	450	61
3	500	52

Какой вариант предпочтет предприятие при нормативе эффективности принятом на уровне 15 %.

3.4. Проект, требующий 700 ден. ед. начальных инвестиций, приносит прибыль 1000 ден. ед. через два года. Годовая банковская процентная ставка равна 12%. Определить

1) текущую ценность проекта,

2) внутреннюю норму прибыли.

3.5. Положительное решение о строительстве моста, который будет служить 200 лет и приносить ежегодно прибыль в размере 10%, будет принято при условии, что процентная ставка составляет не более X%. Найти X.

3.6. На строительство магазина надо затратить в течение месяца около 10000 долл.,а затем он неограниченно долго будет давать 2000 долл. в год. Найти характеристики данного проекта, если ставка процента – 8% в год.

3.7. Последовательность платежей по проекту представлена в виде следующей временной диаграммы:

Годы	0	1	2	3	4	5
Платежи	- 1000	- 200	300	600	700	500

Известно, что внутренняя норма прибыли альтернативных проектов с таким же финансовым риском, как и данного проекта, равна 17%. Определить чистую текущую стоимость и внутреннюю норму доходности данного проекта. Для решения уравнения относительно IRR советуем воспользоваться электронными таблицами.

3.8. Акционеры согласились с предлагаемой длительностью n=4 года проекта и с необходимым размером инвестиций I = 10000, но требуют обеспечить большую доходность j = 10% вложения этих инвестиций, чем общепринятая ставка i =8%.

а) Какой для этого нужно обеспечить минимальный ежегодный доход R?

б) Решите задачу в общем виде, т. е. найдите зависимость R от параметров I, j, n.

КРЕДИТНЫЕ РАСЧЕТЫ.

4.1. Контракт между фирмой А и банком В предусматривает, что банк предоставляет в течение трех лет кредит с ежегодными платежами в размере 1 млн.руб. в начале каждого года под ставку 10 % годовых. Фирма возвращает долг, выплачивая 1 млн. 300 тыс.руб.; 1,5 и 2 млн. руб. в конце 3-его, 4-ого и 5-ого годов. Приемлема ли эта операция для банка?

4.2. Предполагается, что в фонд погашения долга долга Д=10000 руб. средства поступают в конце каждого года в течение 5 лет. На средства погасительного фонда начисляются проценты по ставке i = 10%, ставка по кредиту j = 9,5%. Предусматривается, что платежи каждый раз увеличиваются на 500 руб. Необходимо разработать план формирования фонда погашения.

4.3. Пусть долг, равный 100 тыс.руб., необходимо погасить равными суммами за 5 лет, платежи в конце года. За заем выплачиваются проценты по ставке 5 %. Составить план погашения долга.

4.4. Заем 20000 руб. взят на 10 лет под 8 % годовых. Погашаться будет начиная с конца шестого года ежегодными равными выплатами. Найдите размер этой выплаты.

4.5. По контракту произведённая продукция стоимостью 2 млн. руб. оплачивается в рассрочку ежеквартально в течение 5-ти лет с начислением сложных процентов на оставшуюся сумму долга по годовой процентной ставке 0,1. Определите величины равных платежей, если начало оплаты продукции

• а) перенесено на полгода после подписания контракта,

• б) отложено на 2 года

• в) В условиях задачи а) изменяется число платежей в году, а именно они проводятся каждые полгода

- г) В условиях задачи б) отсрочка сопровождается сокращением срока оплат до 4-х лет.

4.6. Заём был взят под 16% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д. е. в течение двух лет. Из-за изменения ситуации в стране процентная ставка снизилась до 6% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчёта ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?

4.7. Выдана ссуда в 120 млн. руб. на 1,5 года под 60% годовых. Должник обязан в конце каждого второго месяца выплачивать равными долями долг вместе с процентами( имеются в виду проценты в 1/6 от годовых). Какова сумма разового платежа?

4.8. Ссуда в 10 тыс. руб. выдана под 12% годовых и требует ежемесячной оплаты по 130 дол. И выплаты остатка долга к концу срока в 10 лет. Каков остаток долга ?

4.9. Долг в сумме 630 млн. руб. выдан под 80% годовых на 5 лет. Для его погашения единовременным платежом одновременно с получением ссуды создаётся фонд. На размещённые в нём средства начисляются проценты ( 100% годовых ), причём в погасительный фонд ежегодно вносятся равные суммы. Найти ежегодные расходы должника при условии, что выплата процентов происходит ежегодно.

4.10. При выдаче ссуды на 180 дней под 10% годовых по простой ставке кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов при условии, что год равен 360 дням ?

4.11. Господин N намеревается купить с помощью ипотечного кредита однокомнатную квартиру стоимостью 16000 долл. Согласно условиям договора для интересующего его варианта начальный взнос составляет 5000 долл., а затем начиная с первого месяца и в течение 10 лет он должен будет выплачивать по 177 долл. ежемесячно. Соискателя квартиры волнует, насколько соответствуют эти выплаты ставке ипотечного кредита 15%. Не завышены ли они? А как думаете Вы?

5.ЦЕННЫЕ БУМАГИ.

5.1. Оценить текущую стоимость облигации с нулевым купоном и с номинальной

стоимостью 1 млн. руб. и сроком погашения через 3 года. Ставка дисконта r = 12%.

5.2. Оценить текущую стоимость облигации номинальной стоимостью 1 млн. руб., с купонной ставкой 16% годовых и сроком погашения 5 лет. Ставка дисконта r = 10%

3. Оценить текущую стоимость бессрочной облигации, если по ней ежегодно выплачивается доход в размере 100000 руб. Ставку дисконта принять равной r=10%.

4. Определить ориентировочную рыночную стоимость облигации номиналом 100000 руб. при условии, что срок погашения облигации через 3 года, купонная ставка 10 % годовых, ставка банковского процента i = 4 %.

5. Облигация номиналом 100000 руб. с купонной ставкой 8 % и сроком на 5 лет продавалась с дисконтом 20 %. Определить полную доходность этой облигации.

6. Пусть инвестор приобретает акцию с предполагаемым ростом курсовой стоимости 43 % за квартал и в конце квартала продает ее. Инвестор имеет возможность оплатить за свой счет 60 % от фактической стоимости акции. Под какой максимальный квартальный процент может взять инвестор ссуду в банке, с тем, чтобы обеспечить доходность на вложенные собственные средства на уровне не менее 30 % за квартал (без учета налогов). Найти величину эффекта финансового рычага , вызванного привлечением заемных средств.

7. Правительство решает выпустить сроком на три месяца краткосрочные долговые обязательства, доход по которым выплачивается в виде дисконта. Банковская ставка по депозитам – 60 %. Обязательства размещаются среди производственных предприятий. Предполагается, что доход по долговым обязательствам государства налогом не облагается, а доходы (проценты) по депозиту облагаются налогом на прибыль по ставке, равной 32 %. Определить минимально допустимый размер дисконта, обеспечивающий размещение облигаций (при расчете учесть налогообложение).

8. Вычислите доходность операции учета векселя по простой ставке d = 30 % за 3 месяца до его оплаты (временная годовая база состоит из 360 дней, месяц равен 30 дням). При выполнении операции учета с владельца векселя удерживаются комиссионные в размере 0,5 % от достоинства векселя.

9. Инвестор приобрел за 800 руб. привилегированную акцию АО номинальной стоимостью 1000 руб. с фиксированным размером дивиденда 30% годовых. В настоящее время курсовая стоимость акции – 1200 руб. Определить а) текущую доходность по данной акции ( без учета налогов); б) доходность вложения.

10. Ожидается, что выплачиваемый по акции дивиденд составит в первом году сумму D=5долл. и в будущем неограниченно долго будет возрастать на g=0,1=10% в год.

а) Оценить текущую стоимость этой бессрочной акции , если ставка дисконта r=0,15=15%.

б) Получить формулу для расчета этой величины в общем случае, т. е. в зависимости от характеристик D, r,g.

5.11. Депозитный сертификат выпущен на сумму 1000 руб. под 12% годовых. Предположим , что через полгода ставка уменьшилась до 6%. Найти стоимость этого сертификата за полгода до его погашения при неизменной ставке и с учетом ее изменения. Как повлияло снижение уровня процента на эту стоимость?

12. Что выгоднее производственному предприятию ( с учетом налогообложения прибыли в 32% годовых ) инвестировать 1 млн. руб. на депозит в банке сроком на год с выплатой 21% годовых или купить депозитный сертификат того же банка со сроком погашения через год и выплатой 17% годовых ( доход от покупки депозитного сертификата облагается налогом по ставке 15% )?

13. Трехгодичная купонная облигация номиналом 100 долл. и с купонной ставкой 6% имеет текущую стоимость 92,б долл. Определить реальную внутреннюю доходность этой облигации, если ожидаемый годовой темп инфляции 4%, а ставки налогов на прирост капитала и процентный доход одинаковы и равны 30%.

14. Ставка процента выросла с 8% до 10%. Как изменится капитал держателя бессрочной ценной бумаги, которая постоянно приносит ему годовой доход в 100 долл.?

5.15. Текущий курс акций составляет 30 долл. Инвестор соглашается купить опцион за 200 долл. на покупку 100 акций по 35 долл. через два месяца. Допустим, что к назначенному сроку курс акций поднимется до 50 долл. Какова годовая ставка процента на вложенные в покупку опциона 200 долл.

5.16. Для заключения одного 1000-долларового контракта на счет биржи требуется внести 10 % от объема контракта по текущему курсу. Допустим, что в условиях рассматриваемой задачи этот курс составляет 28 руб. Известно, что к дате закрытия (13 апреля) котировочная цена снизилась по сравнению с ценой открытия (4 апреля) на 1 руб. Определите годовую доходность от игры на понижение и на этой основе поясните действие эффекта рычага.

5.17. Казначейские векселя достоинством в 100 долл. и периодами погашения 90 и 180 дней продаются по цене 98,25 долл. и 96 долл. Оцените с точки зрения доходности сравнительную выгодность из двух альтернатив; покупка и погашение 90-дневных векселей или покупки 180-дневных бумаг их продажа через те же 90 дней (предполагается, что кривая доходности сохраняется неизменной).

5.18. Начальный капитал инвестора равен 200 долл. Предположим ,что он может купить на эти деньги одну акцию компании А по курсу в 200 долл. или приобрести, исходя из премии в два доллара за акцию, месячный опцион на покупку 100 акций этой компании по цене 210 долл. Сравните по доходности вложение в акцию с покупкой опциона для двух исходов: а) за месяц курс акций повысится до 220 долл.; б) за месяц курс акций снизится до 180 долл.

6.РИСКИ.

6.1. При вложении капитала в мероприятие А из 200 случаев прибыль 25 тыс. руб. была получена в 20 случаях, прибыль 30 тыс. руб. – в 80 случаях, а прибыль 40 тыс. руб. – в 100 случаях. При вложении капитала в мероприятие Б из 240 случаев прибыль 30 тыс. руб. была получена в 144 случаях, прибыль 35 тыс. руб. – в 72 случаях, прибыль 45 тыс. руб. – в 24 случаях. Выберите вариант вложения капитала

а) по критерию средней прибыли;

б) по критерию колеблемости прибыли.

6.2. Выберите наименее рисковое направление инвестиций.

Вариант А. Собственные средства инвестора – 5 млн.руб. Максимально возможная сумма убытков – 3,5 млн. руб.

Вариант Б. Собственные средства инвестора – 30 млн. руб. Максимально возможная сумма убытков – 12 млн. руб.

6.3. Инвестор выбирает между двумя акциями А и В. Каждая из них по-своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности

	Ситуация 1		Ситуация 2
	вероятность	доходность	вероятность	Доходность
А	0,5	20 %	0,5	10 %
В	0,99	15,1 %	0,01	5,1 %

Какую акцию выберет несклонный к риску инвестор.

6.4. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из ник акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности заданы таблицей

	Исход 1		Исход 2
	Вероятность	доходность	вероятность	Доходность
А	0,2	5 %	0,8	1,25 %
В	0,2	- 1 %	0,8	2,75 %

Допустим, что инвестируются заемные средства, взятые под ставку 1,5 %. Обоснуйте количественно ответы на следующие вопросы:

существуют ли для инвестора риски разорения и если да, то в чем они состоят и как их можно избежать.

ПОРТФЕЛЬ ИНВЕСТОРА.

7.1 Имеются два актива со случайными эффективностями R₁, R₂. Возможные значения этих эффективностей и их вероятности сведены в таблицу

Вероятности	0,2	0,8
R 1 R 2	5 % -1 %	1,25 % 2,75 %

Пусть функция полезности инвестора

U ( R ) = 1,2 R – 0,1 R².

Решите задачу об оптимальном портфеле, максимизируя ожидаемую полезность дохода или с помощью уровневой функции полезности U(m, ).

7.2. Найти оптимальный рисковый портфель («касательный» портфель) на траектории эффективных комбинаций из двух ценных бумаг с характеристиками , ; , ; при условии, что эффективность добавляемого безрискового актива .

7.3. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью 10 и риском 5. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска.