Этап 2. Проверка допущений о независимости по полезности.

Для удобства последующего изложения введем следующие обозначения:

Пусть значения первого фактора (обозначим его за Y) лежат в промежутке [y_min, y_max], а значения второго фактора (обозначим его за Z) – в промежутке [z_min, z_max].

Проверка гипотезы о независимости по полезности начинается с выявления независимости одного из факторов (первый, в дальнейшем везде – y) от z. Затем осуществляется проверка на независимость по полезности z от y и, при наличии взаимной независимости по полезности, переходят к проверке гипотезы об аддитивной независимости факторов y и z. Такая последовательность действий связана с тем, что односторонняя независимость является самым слабым условием независимости, а аддитивная независимость – самым сильным. Выявленная форма независимости определяет способ комбинирования условных (однофакторных) функций в многофакторную функцию, являющуюся математическим аппаратом принятия решения в условиях рассматриваемой ЗПР.

Установление независимости по полезности происходит при осуществлении следующего эксперимента, в котором принимает участие ЛПР и эксперт. ЛПР предъявляется некоторая лотерея с равновероятными исходами <(y_min,z),(y_max,z)>, для которой необходимо найти детерминированный эквивалент вида . Рациональным приемом поиска величины является метод «вилки», позволяющий проводить многократное повторение такого процесса. Графическая иллюстрация метода «вилки» приведена на рис. 1.

z_max

z_i A_i B_i … Y … C_i D_i

z_min

y_min y_i y_max

Рис1. Графическая иллюстрация метода «вилки»

Исследуя различные точки из отрезка (целесообразно предлагать ЛПР точки, находящиеся по разные стороны от искомого значения, последовательно приближаясь к центру отрезка) при фиксированном, ищется такая точкаY при которой ЛПР был бы безразличен выбор между ней и разыгрываемой лотереей. Она же по определению [2] и будет являться детерминированным эквивалентом

Результаты эксперимента фиксируются в протоколе следующего вида.

Испытание № i
Значение постоянного фактора ()
Номер Шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	yi	Предпочтительней лотерея
…	…	…

Количество испытаний устанавливается экспертом. При этом каждое новое испытание проводится с новым значением z. Если получаемые величины детерминированного эквивалента в различных испытаниях теоретически равны между собой, то имеет место независимость по полезности фактора y от фактора z. Однако на практике такое равенство обычно не достижимо. В этом случае ЛПР определяет границы (разумные) допустимого отклонения для . Однако, если различия между детерминированными эквивалентами в испытаниях существенны, т.е. значения не попадают в заранее определенный интервал, то независимость по полезности между двумя факторами отсутствует.

В результате проведения проверок на независимость фактора y от фактора z и фактора z от фактора y мы получаем один из трех возможных исходов:

• Имеет место взаимная независимость по полезности между факторами y и z;

• Только один фактор является независимым по полезности от другого фактора;

• Ни один из факторов не является независимым по полезности от другого;

В случае наступления первых двух исходов данный этап завершается установлением вида многомерной функции полезности.

Из математической теории полезности известно, что:

• если один из факторов не зависит по полезности от другого,

то математическая формализация двухфакторной функции полезности для случая, когда фактор z не зависит по полезности от фактора у будет следующей:

u(y, z) = u(y, z₀)[1- u(y₀, z)] + u(y, z₁)u(y₀,z), где (1)

u(y₀, z₀) = 0,

u(y₀, z₁) = 1.

Выражения для u(y, z₀) и u(y, z₁) ищутся как линейные преобразования однофакторных функций полезности

(2)

соответственно, где данные функции определяются исходя из следующих условий шкалирования:

(3)

а указанные линейные преобразования представлены в виде:

(4)

где

являются шкалирующими константами;

z₀, z₁ принадлежат отрезку [z_min, z_max];

y₀ – обязательно внутренняя точка из [y_min, y_max], желательно близкая к середине отрезка.

Таким образом, общая функция полезности определяется двумя условными функциями по y и одной условной функцией по z при условии согласованного шкалирования. Все приведенные выше соотношения записаны для случая монотонного возрастания функции полезности u(,) по обоим аргументам.

• если факторы y и z являются взаимно независимыми по полезности, то u(y, z) имеет вид:

u(y, z) = k_yu_y(y) + k_zu_z(z ) + k_yzu_y(y)u_z(z), (5)

где u_y() и u_z() – условные (однофакторные) функции полезности, а k_y , k_z и k_yz-

шкалирующие константы, для которых

• если факторы у и z являются аддитивно независимыми, то двухфакторная функция полезности u(y, z) имеет вид:

u(y, z) = k_yu_y(y) + k_zu_z(z), (6)

где k_y , k_z >0.

Установление аддитивной независимости по полезности проводится только в том случае, если уже обнаружена взаимная независимость по полезности. Согласно определению [ ], y и z являются аддитивно независимыми, если ЛПР может указать на две равноценные лотереи с равновероятными исходами вида:

L1:<(y₁, z₁);(y₂, z₂)>

L2:<(y₁,z₂);(y₂, z₁)>

причем исход (y₁,z₁) не равноценен ни одному из исходов второй лотереи. Однако если ЛПР может указать на две такие лотереи являющиеся неравноценными или исход (y₁,z₁) равноценен исходам второй лотереи, то аддитивной независимости нет. Таким образом, при построении хотя бы одной пары лотерей определенного вида ответ ЛПР об их равноценности определяет наличие или отсутствие аддитивной независимости по полезности.

Отсутствие независимости по полезности между факторами в той или иной форме означает, что невозможно провести декомпозицию многомерного вида функции полезности путем построения однофакторных функций. Теоретически можно прибегнуть к так называемому «непосредственному» построению функции полезности путем аппроксимации предпочтений, выявленных в диалоге с ЛПР. Однако высокая сложность, слабоструктурированность и большая трудоемкость такой задачи приводит к возникновению множества ошибок при осуществлении данного процесса. Поэтому следует избегать такого положения. В случае установления взаимозависимости по полезности следует:

• выполнить разбиение исследуемого диапазона (диапазонов) изменения параметров на такие отрезки, где предположения о независимости выполняется и все дальнейшие действия осуществлять в предположении о наличии независимости в той или иной форме.

• или попытаться переформулировать задачу.

После проведенных исследований результатом выполнения данного этапа является установленный вид многофакторной функции полезности.

Этап 3.Построение одномерных функций полезности.

Данный этап выполняется с использование программы EUFnew,работающей в диалоговом режиме на русском языке.

Главное меню имеет следующий вид:

Порядок использования режимов программного обеспечения следующий.

1. Задание пределов изменения атрибута;

2. Задание отношения к риску;

3. Расчет константы отношения к риску (параметр с).

Расчет постоянной отношения к риску проводится на основе определения детерминированного эквивалента лотереи вида:

.

Значение детерминированного эквивалента для такой лотереи при p=0.5 было определено на этапе 2 в ходе экспертного опроса ЛПР, поэтому здесь следует лишь воспользоваться запротоколированными результатами проведенных экспериментов. Следует обратить внимание, что введенный детерминированный эквивалент может быть отклонен, если он не соответствует ранее объявленному типу отношения ЛПР к риску.

Кроме того, при расчете шкалирующих констант и проверке согласованности построенной многофакторной ФП с системой предпочтения ЛПР требуются режимы:

1. Нахождение значение функции полезности по заданному значению аргумента;

2. Расчет ожидаемой полезности для лотереи.

Рис. Вид заполненного экранного меню программы EUFnew.

Программа EUFnew осуществляет построение однофакторных функций полезности следующего вида:

• Для случаев роста полезности при увеличении значения аргумента, склонности или несклонности ЛПР к риску:

;

• Для случая роста полезности при увеличении значения аргумента, нейтрального отношения ЛПР к риску:

;

• Для случая уменьшения полезности при увеличении значения аргумента, склонности или несклонности ЛПР к риску:

;

• Для случая уменьшения полезности при увеличении значения аргумента, нейтрального отношения ЛПР к риску:

В зависимости от полученных результатов этапа 2, на котором был определен итоговый вид многофакторной функции полезности, процесс построения однофакторных функций полезности, может быть повторен дважды или трижды. При этом используются данные проведенных на втором этапе экспериментов (с учетом этого в качестве z₀ и z₁ в формуле (1) берут z_min и z_max , в качестве y₀ – одну из внутренних точек отрезка, для которой проведен эксперимент).

Все итоговые данные помещаются в пользовательский файл. Отчет о работе программы имеет следующий вид.

Свойства функции полезности:

Пределы изменения атрибута:

Нижний предел = 10.0000000000

Верхний предел = 100.0000000000

Предпочтительное изменение атрибута: Возрастание

Отношение к риску: Несклонность

Постоянная отношения к риску: 0.0102174715

1 |

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

0 ------------------------------------------------------------

10.0000000000 100.0000000000

Рис. Отчет о работе программы EUFnew.

Этап 4.Нахождение значений шкалирующих констант и построение двухфакторной функции полезности.

1. Для случая аддитивной независимости по полезности факторов Y и Z.

Двухфакторная функция полезности при наличии аддитивной независимости имеет вид (6).

Напомним, что в нашем примере для первого критерия предпочтительны минимальные значения, а для второго – максимальные значения.Поэтому условия согласованного шкалирования будут следующими

u(y_min) = 1; u(z_max) = 1,

u(y_max) =0; u(z_min) = 0.

По результатам выполнения этапа 2 получим следующие выражения:

u(y_min, z_min) = k_Y u(y_min) + k_z u(z_min) = k_y

u(y_max, z_max) = k_Y u(y_max) + k_z u(z_max) = k_Z

u(y_min, z_max) = k_Y + k_Z = 1

В основу расчета шкалирующих констант кладутся результаты сравнения по предпочтительности исходов (y_min, z_min) и (y_max, z_max). В случае их эквивалентности получим k_Y = k_Z = 0,5. Если это не так, то следует выяснить, какой из двух исходов более предпочтительнее. Пусть, например,

(y_min, z _min) > (y_max, z_max), т.е k_Y >k_z.

В таком случае, ЛПР может указать некоторое y^,, при котором выполняется следующее соотношение

(9)

С учетом (7) имеем

или

. (10)

Выполнив несложное преобразование, получим выражение для расчета k_y. Величина же может быть вычислена непосредственно по найденной на предыдущем этапе формуле для условной однофакторной функции полезности (для этого следует воспользоваться режимом расчета «Нахождение значение функции полезности по заданному значению аргумента» программы EUFnew). Найдя значение шкалирующей константы k_y, получим и значение k_z.

2. Для случая взаимной независимости по полезности факторов Y и Z.

Если на этапе 2 в результате проведенных экспериментов установлена взаимонезависимость факторов по полезности, то двухфакторная функция имеет вид (5). Аналогично рассмотренному выше случаю в условиях согласованного шкалирования получим

k_y + k_z + k_yz = 1. (11)

Так же, как при аддитивной независимости расчет шкалирующих констант следует начинать с вопросов относительно установления некоторых взаимоотношений между константами.

Допустим, что по результатам диалога ЛПР с экспертом (о сравнении исходов (y_min, z_min) и (y_max, z_max)) получено, что k_z >k_y. Уравнение вида

(12)

выводится так же, как и в предыдущем случае.

Для поиска третьего соотношения проведем следующий эксперимент. ЛПР необходимо определить такую вероятность p, при которой детерминированный исход (y_min, z_min) эквивалентен следующей лотерее

<(y_min, z_max),p,(y_max, z_min)>.

Опираясь на определение детерминированного эквивалента [2, c.] получим p = k_y (13)

(Вывод этого соотношения может быть осуществлен самостоятельно при выполнении лабораторной работы).

Решая систему уравнений (11, 12, 13), получим количественные оценки шкалирующих констант.

2. Для случая односторонней независимости по полезности факторов Y и Z.

Рассмотрим расчет шкалирующих констант для случая односторонней независимости фактора z от фактора y.

Вначале получим аналитическую формулу для двухфакторной функции в соответствии с рассматриваемой задачей.

Определим начало отсчета и единицу измерения функции u(y,z) (см. формулы 1-4). Зададим исходы z₀ и z₁ такие, что удовлетворяют следующему неравенству

u(y₀, z₁)u(y₀,z₀).

Значения функции u(y₀,z₀) =0 и u(y₀, z₁) =1 задают точку отсчета и единицу измерения функции u(y₀,), а так же общую точку на кривых u(, z₀) и u(, z₁).

Поскольку z не зависит по полезности от y, из условия стратегической эквивалентности условных функций полезности u(,z₀) и u(,z) имеем положительное линейное преобразование

u(y, z)=g(z) + h(z)u(y,z₀). (14)

При z=z₀, имеем

u(y, z₀)=g(z) + h(z)u(y₀,z₀). 15)

Но поскольку u(y₀,z₀) =0, то формула (15) превратится в u(y, z₀)=g(z). (16)

Теперь возьмем точку z=z₁ и проведем аналогичную процедуру, попутно подставив полученное равенство (16).

u(y, z₁)= u(y, z₀) + h(z)u(y₀,z₁). (17)

Из условия, что u(y₀,z₁)=1h(z)=u(y,z₁)-u(y,z₀). (18)