16, 32, 48, 65, 81, 97 / 32

16. Z-преобразование. Устойчивость фильтров. Частотные характеристики фильтров

Прямым Z-преобразованием дискретной последовательности x_n, где n = 0,1, 2.., называется функция комплексной переменной z, определяемая следующим соотношением

. (2.1)

Функция определена для тех значений z, при которых ряд сходится.

Примеры определения Z-преобразований трех простых последовательностей приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Название последовательности	Последовательность	Z-преобразование последовательности
Единичный отсчет		X(z)=1 при
Единичный скачок
Показательная функция

Рассмотрим основные свойства прямого Z-преобразования.

1.Линейность. Пусть последовательность y_n представляет взвешенную сумму двух последовательностей x_1n и x_{2 n}

,

где постоянные весовые коэффициенты.

Тогда Z-преобразование последовательности y_n определяется следующим соотношением

. (2.2)

Таким образом, Z-преобразование взвешенной суммы двух последовательностей равно взвешенной сумме Z-преобразований этих последовательностей.

2.Сдвиг последовательностей. Пусть последовательность y_n представляет собой сдвинутую (задержанную) на m отсчетов последовательность x_n (рисунок 2.1)

.

Тогда Z-преобразование Y(z) последовательности y_n выражается через Z-преобразование X(z) последовательности x_n следующим образом

. (2.3)

Таким образом, Z-преобразование последовательности, сдвинутой относительно исходной на m отсчетов, равно Z-преобразованию исходной последовательности, умноженной на z ^–m.

3.Дискретная свертка двух последовательностей. Дискретной сверткой двух последовательностей x_n и h_n называется последовательность y_n, определяемая следующим соотношением

. (2.4)

Z-преобразование Y(z) дискретной свертки y_n двух последовательностей равно произведению Z -преобразований H(z) и X(z) исходных последовательностей h_n и x_n

, (2.5)

где .

Устойчивость цифровых фильтров

Рассмотрим критерии устойчивости цифровых фильтров.

1.Критерий «ОВ-ОВ» («Ограниченный вход – ограниченный выход»)

Цифровой фильтр устойчив, если при ограниченном входном сигнале выходной сигнал фильтра также ограничен.

Условие ограниченности входного сигнала определяется соотношением , где , а условием ограниченности выходного сигнала является .

Непосредственное использование этого критерия весьма затруднительно, т.к. требует определения значений отсчетов выходного сигнала при всех возможных значениях отсчетов входного сигнала. Поэтому требуются критерии, позволяющие оценить устойчивость фильтра на основании его характеристик.

2.Критерий оценки устойчивости по импульсной характеристике фильтра

В разделе 2.3 было доказано, что выходной сигнал фильтра представляет собой дискретную свертку входного сигнала и импульсной характеристики фильтра .

Абсолютное значения отсчетов выходного сигнала удовлетворяет неравенству.

При справедливо неравенство .

Следовательно, .

Таким образом, чтобы обеспечить выполнение условия , достаточно выполнить условие

. (2.15)

Последнее соотношение определяет критерий устойчивости цифрового фильтра, который формулируется так: цифровой фильтр устойчив, если сумма абсолютных значений отсчетов его импульсной характеристики конечна.

Частотной характеристикой ЦФ называется зависимость комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

Амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) называется зависимость модуля комплексного коэффициента передачи от частоты

.

Фазочастотной характеристикой (ФЧХ) называется зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты.

.

Для определения комплексного коэффициента передачи фильтра подадим на вход фильтра с прямой формой реализации комплексный сигнал с единичной амплитудой

.

Согласно определению комплексного коэффициента передачи комплексный выходной сигнал должен быть равен

.

Выходной комплексный сигнал фильтра определяется следующим соотношением

.

Из последнего соотношения получим

(2.13)