16, 32, 48, 65, 81, 97 / 65

65. Математическое описание линейных систем радиоавтоматики. Методы их анализа.

Наиболее общей и наиболее полной формой математического описания автоматических систем и их элементов является дифференциальное уравнение вида

a₀ d ⁿy(t)/dt ⁿ + a₁d ^n-1y(t)/dt ^n-1 + . . . + a_ny(t) =

b₀ d ^mx(t)/dt^m + b₁d ^m-1x(t)/dt^m-1 + . . . + b_m x(t), (2.1)

где x(t) и y(t) – входная и выходная величины элемента или системы; a_{i ,} b_i – коэффициенты уравнения.

Уравнение (2.1) устанавливает связь между входной и выходной величиной как в переходных, так и в установившихся режимах.

Коэффициенты дифференциального уравнения называются параметрами. Они зависят от различных физических констант, характеризующих скорость протекания процессов в элементах.

В большинстве практических случаев коэффициенты уравнения существенно не изменяются и системы являются системами с постоянными параметрами. Для автоматических систем управления, описываемых линейным уравнением, справедлив принцип наложения или суперпозиции, согласно которому изменение выходной величины y(t), возникающее при действии на систему нескольких входных сигналов x_i(t), равно сумме изменений y_i(t) величины y(t), вызываемых каждым сигналом в отдельности. Иногда параметры некоторых элементов систем изменяются во времени. Такую систему называют нестационарной или системой с переменными параметрами.

Пример

Составить дифференциальное уравнение электрической цепи (рис. 2.1).

Решение. Входной величиной для цепи является напряжение , а выходной величиной – напряжение . В динамических режимах по одноконтурной цепи протекает ток . Выходное напряжение равно падению напряжения на сопротивлении . На основании второго закона Кирхгофа при нулевых начальных условиях составим уравнение : Выходное напряжение

откуда определим значение тока

Подставим:

Уравнение (4) является интегро-дифференциальным и его необходимо привести к дифференциальной форме. После дифференцирования (4) получим:

Уравнение (5) приводится к стандартной форме:

где 

В операторной форме уравнение (6) представляется как

Дифференциальное уравнение является самой общей формой описания элемента и не дает наглядного представления о передаточных свойствах элемента. Наглядное представление об этих свойствах дает функция , являющаяся решением дифференциального уравнения. Но одно и то же дифференциальное уравнение может иметь множество решений, зависящих от начальных условий и вида внешнего воздействия . Поэтому принято динамические свойства элементов и систем характеризовать решением, соответствующим нулевым начальным условиям и одному из типовых воздействий. В качестве типового воздействия принимают единичное ступенчатое, дельта-функцию или гармоническое воздействие.

Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция (характеристика). Переходной функцией . называют изменение выходной величины  во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях. Переходная функция может быть задана в виде графика (рис. 2.2, а) или аналитически.

Переходная функция , как и любое решение неоднородного дифференциального уравнения, имеет две составляющие: вынужденную  и свободную . Вынужденная составляющая переходного процесса представляет собой частное решение исходного уравнения. При ступенчатом воздействии вынужденная составляющая равна установившемуся значению выходной величины, которое для статических элементов может быть определено непосредственно из дифф. Уравнения

Наиболее распространенным методом описания и анализа автоматических систем является операционный метод. В основе метода лежит преобразование Лапласа:

которое устанавливает соответствие между функциями действительной переменной  и функциями комплексной переменной . Функцию времени , входящую в интеграл Лапласа, называют оригиналом, а результат интегрирования – функцию  – изображением функции  по Лапласу.

Наиболее важными свойствами преобразования Лапласа являются свойства, формулируемые обычно в виде правил: при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала  по переменной  соответствует умножение изображения  на комплексную переменную , а интегрированию оригинала соответствует деление  на .

Именно на этих двух свойствах основан операционный метод решения дифференциальных уравнений.

Широкое распространение операционного метода обусловлено тем, что с его помощью определяют так называемую передаточную функцию, которая является самой компактной формой описания динамических свойств элементов и систем.

Передаточной функцией W(s) комплексной переменной s называется отношение изображения выходной величины к изображению входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Комплексный коэффициент передачи

Применение частотных характеристик приводит к косвенным методам анализа систем. Их преимущество в возможности использования исключительно наглядных графических и графо-аналитических методов.

Вручную построенные характеристики используются для предварительного, достаточно приближенного анализа и коррекции системы с последующим уточнением результатов с применением цифровой вычислительной техники.

Рассматриваемые ниже частотные характеристики являются характеристиками комплексного коэффициента передачи. При этом используются две формы представления .

(2.17)

где - вещественные характеристики, - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики системы.

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ)

Это наиболее часто используемая характеристика системы, представляющая собой годограф на комплексной плоскости, изображенный при изменении частоты в диапазоне Полная характеристика должна быть построена в диапазоне изменения частоты Но в силу ее симметричности относительно точки используется только половина этой характеристики. В зависимости от формы представления в выражении (2.17) годограф строится в декартовой или полярной системе координат. В обоих случаях искомая кривая задается в параметрической форме, следовательно, при построении годографа теряется информация об изменении частоты при движении по годографу. Поэтому должны быть предусмотрены способы определения значения частоты в любой заданной точке годографа. Например, в ряде точек графика АФХ указывается значение соответствующей частоты.

Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ)

АФХ несет полную информацию о свойствах системы, но построение ее графика достаточно трудоемко. Проще построить графики логарифмических частотных характеристик. ЛАХ – это совокупность логарифмических амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, построенных с применением логарифмического масштаба по оси частот.

(2.18)

Используя графики ЛАХ, для ряда точек на оси частот определяют значения амплитуды и фазы . Далее, используя полярную систему координат, находят точки на графике АФХ. Так можно построить, хотя и приближенно, всю характеристику.