FullCollection / Сайт кафедры Электротехника / site / text / operm

Операторный метод расчёта переходных процессов в линейных цепях H1{text-align: left; font: 15pt; color: brown; font-style: italic} H2{text-align: center; font: 24pt; color:green} H3{text-align: center; font: 20pt; color:purple} Операторный метод расчёта переходных процессов в линейных цепях. Введение

Краткие теоретические сведения

Алгоритм решения операторным методом

Пример решения задачи.

Введение Операторный метод был разработан в начале ХХ-го века Хевисайдом, который начал применять его для электротехнических расчётов ещё до появления строгой теории, обосновывающей законность применения этого метода. То, что затем было математически выведено, Хевисайд вводил только потому, что это соответствовало действительности, и довольно продолжительное время операторный метод “жил” лишь на эмпирически найденных закономерностях. Сутью операторного метода являлся преход с помощью некоторых преобразований от интегро-дифференциальных уравнений к алгебраическим. Решая их, получается ответ, который после других преобразований даёт ответ исходной задачи. Вид преобразований на начальном этапе развития операторного метода определялся подбором, подгонкой преобразований таким образом, чтобы получаемые результаты соответствовали известным правильным решениям. Затем метод был строго формализован и породил целое направление математики – операционное исчисление.

Краткие теоретические сведения Основу операторного метода составляет преобразование Лапласа. Его математическая запись выглядит следующим образом:

Таким образом, каждой функции f(t), удовлетворяющей условиям:

f(t) = 0 при t<0

f(t) кусочно-непрерывная функция: на каждом конечном отрезке конечное число точек разрыва и все они первого рода (интересующиеся могут обратиться к лекционному материалу первого курса математического анализа)

| f(t)| ? M? ea t , где M > 0 и a > 0, то есть эта функция может расти, но не быстрее, чем экспонента,

соответствует некоторая функция F(p) от комплексного переменного p. Функцию f(t) называют оригиналом, а F(p) – изображением функции f(t). Сокращённо преобразование Лапласа записывают в виде

F(p)f(t)

Перечислим свойства преобразования Лапласа. Будем подразумевать, что f(t) – оригинал, а F(p) – изображение f(t).

Единственность, то есть данному оригиналу соответствует единственное изображение и наоборот;

Линейность, то есть изображение суммы оригиналов является суммой изображений. Другими словами, если

F1(p)f1(t),

F2(p)f2(t),

F(p) f1(t) + f1(t), то

F(p) = F1(p) + F2(p)

Теорема запаздывания.

f(t – t ) e –pt · F(p)

Дифференцирование оригинала. Если f ' (t) – оригинал, то:

f ' (t)pF(p) – f(0)

Если f(n)(t) – оригинал, то:

f (n)(t)pnF(p) – (pn-1f(0)+ pn-2f ' (0)+ …+ pf(n-1)(0)+ f (0))

Интегрирование оригинала.

Дифференцирование изображения.

t .f(t)

tn . (t)

Интегрирование изображения

Уравнения для изображений тока и напряжения произвольной цепи могут быть получены по законам электрических цепей (Ома и Кирхгофа), записанным для операторных схем замещения. При составлении операторной схемы замещения (ОСЗ), во-первых, все пременные величины заменяются их операторными изображениями, например, I(t)® I(p); во-вторых, индуктивности L заменяются последовательными схемами, состоящими из операторного сопротивления pL и источника ЭДС L .i(-0), где i(-0) – начальное значение тока в индуктивности; в-третьих, ёмкости С заменяются последовательными схемами, состоящими из операторного сопротивления 1/(pC) и источника ЭДС UC(-0)/p, где UC(-0) – начальное значение напряжения на конденсаторе.

к началу

Алгоритм решения операторным методом Выбираем условное положительное направление (УПН) искомой величины на данной принципиальной электрической схеме (ПЭС);

Из докоммутационной схемы определяем необходимые начальные данные – токи через индуктивности iL(-0) и напряжения на конденсаторах uC(-0);

Строим операторную схему замещения.

Искомую величину в операторной форме находим любым известным методом расчёта электрических цепей, уже не содержащих реактивных элементов (L и C).

Выполняем проверки полученного изображения. Этот шаг является абсолютно необходимым, поскольку при проведении расчётов вручную вероятность допустить арифметическую ошибку велика из-за некоторой громоздкости формул. При расчёте переходных процессов в ЭЦ изображение имеет вид дроби, числитель и знаменатель которой являются многочленами p:

Итак, полученное изображение должно удовлетворять следующим требованиям:

Степень числителя меньше степени знаменателя

degA(p) < degB(p)

Корни знаменателя, не равные нулю, имеют действительную часть, меньшую нуля

Re(pk) < 0, где pk 0

Корень знаменателя p = 0 имеет кратность 1. Тогда

, где deg F(p) = ППП (порядок переходного процесса)

Из вида изображения можно сразу извлечь некоторую информацию об оригинале:

1.Если у знаменателя есть корень p = 0, то

Xуст = X(+ ) 0

2.Выполнены следующие равенства:

3.Находим оригинал полученного изображения с помощью таблицы преобразований Лапласа или любым другим доступным методом.

№ п/п F(p) f(t) (t > 0) 1 1 2 t 3 tn 4 eat 5 sinw t 6 cosw t Гораздо более полную таблицу можно найти в любом справочнике по математике.

Строим осциллограмму процесса, то есть график функции X(t).

к началу

Пример решения задачи.

Дана принципиальная электрическая схема со следующими параметрами:

R1 = 1 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 4 Ом; R4 = 5 Ом; L = 1 Гн; C = 0.125 Ф; E = 20 В;

Определить ток через катушку индуктивности после коммутации и построить осциллограмму процесса.

Решение

1. Выбираем УПН через L. Пусть оно совпадает с направлением ЭДС E.

2. Рисуем докоммутационную схему. Для этого заменяем кондесаторы разрывами цепи, а индуктивности – проводниками. Из неё определяем необходимые начальные данные – ток через индуктивност iL(-0) и напряжение на конденсаторе uC(-0);

3. Составляем операторную схему замещения для исходной схемы после коммутации.

4. Найдём нужный ток в операторной форме, используя метод наложений. Преобразуем схему к более простому виду и, подставляя данные численные значения, введём слеующие обозначения:

Воспользуемся законом Ома и правилом делителя тока. Вклад в искомый ток источника ЭДС E1 равен:

,

а вклад в искомый ток источника ЭДС E2 равен:

Тогда получим, что

Подставим в полученную формулу значения и найдём изображение искомого тока.

5. Выполним проверки соответствия полученного изображения необходимым требованиям.

            1.Степень числителя меньше степени знаменателя degA(p) < degB(p).

Верно, поскольку 2 < 3.

            2.Корни знаменателя, не равные нулю, имеют действительную часть, меньшую нуля

Корни знаменателя равны p1 ,2= – 2 ± j.

Верно, поскольку –2 < 0.

            3.Корень знаменателя p = 0 имеет кратность 1. Тогда F(p) = B(p)/p = p2 + 4p+ 5, deg F(p) = 2

Верно, поскольку ППП = 2 (в схеме есть и ёмкость и индуктивность)

Поскольку у знаменателя есть корень p = 0, то iуст = i(+) 0

Итак, при t ® ? i(t) = iуст = 4 0,

при t = +0 i(t) = iL(-0) = 2, то есть закон коммутации для индуктивностей выполнен.

6. Найдем оригинал по найденному изображению I(p). Преобразуем изображение к удобному для преобразования виду:

I(p)

Итак,

7. Построим осциллограмму процесса.

к началу