Включение цепи r, l, с на постоянное напряжение

Исследуем переходные процессы при включении R, L, C цепи на постоянное напряжение величиной U при нулевых начальных условиях, т.е. при i(0-)=0 и u_C(0-)=0.

Общее решение относительно тока получено выше и представлено выражением (2.7).В данном случае значение принужденной составляющей тока и ее производной равны нулю. Поэтому из системы уравнений (2.9) находим для нашего случая:

Отсюда

и

Сравнивая полученные выражения для i и uC c аналогичными для случая разряда конденсатора, видим, что закон изменения тока в обоих случаях один и тот же, и токи отличаются только знаками, так как теперь рассматривается процесс зарядки конденсатора. Напряжение же на конденсаторе при разряде изменяется от начального значения U0 до нуля, а при зарядке от нуля до конечного значения U, переход происходит по аналогичному закону.

Характер переходного процесса, как и при разряде конденсатора, зависит от того, будут ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными. В первом случае процесс зарядки конденсатора апериодический (Рис. 2.13,а), а во втором случае колебательный (Рис. 2.13,б).

Нахождение принужденной и свободной составляющих без составления уравнения цепи. Получение характеристического уравнения

Во всех рассмотренных примерах для нахождения тока или напряжения в переходном режиме составлялись дифференциальные уравнения цепи относительно искомой величины. Линейная электрическая цепь любой топологии описывается в общем случае неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка. Процесс получения такого уравнения для разветвленных цепей может быть достаточно трудоемким. В то же время следует подчеркнуть, что необходимость получения дифференциального уравнения обусловлена, главным образом, необходимостью получения характеристического уравнения для нахождения свободной составляющей тока или напряжения. Нахождение принужденной составляющей не требует принципиальной необходимости получения дифференциального уравнения цепи. Действительно, поскольку принужденная составляющая равна действительному значению искомой величины, установившейся в цепи спустя бесконечно большое время после коммутации, то она может быть определена непосредственным расчетом цепи, получившейся после коммутации. При этом применимы все известные методы расчета линейных цепей в установившемся режиме.

Существует метод, позволяющий получить характеристическое уравнение, а значит и решение для свободной составляющей, также без составления дифференциального уравнения цепи - метод входного сопротивления. Суть его состоит в том, что характеристическое уравнение можно получить, приравняв нулю входное сопротивление Z_вх(p=jw) для источника синусоидальной э.д.с., включенного в любую из ветвей заданной электрической цепи. Это вытекает из следующих соображений. В отсутствии источников на входе электрической цепи (именно такой режим и характеризует физический смысл свободной составляющей) может существовать ток I_вх e^pt (свободный режим) только при условии

I_вхe^pt Z_вх(p)=0

Решение для тока, отличное от нуля, и приводит к одному из видов записи характеристического уравнения:

Z_вх(p)=0

Таким образом, можно записать характеристическое уравнение без составления дифференциального. Для этого нужно:

- в заданной цепи заменить источники электроэнергии их внутренними сопротивлениями(0- для идеальных источников э.д.с., µ - для идеальных источников тока)

- разорвать любую ветвь получившейся цепи и записать комплексное входное сопротивление цепи Z_вх(jw) относительно точек разрыва

- в полученном выражении для Z_вх(jw) заменить jw на p и приравнять его нулю.

Примечание: комплексные сопротивления резистора, индуктивности и конденсатора равны соответственно: Z_R(jw)=Z_R(p)=R; Z_L(jw)=jwL, Z_L(p)=pL; Z_c(jw) = 1/jwC, Z_C(p)=1/pC.

Дальнейший алгоритм нахождения свободной составляющей после получения характеристического уравнения не отличается от описанного выше.

Получим характеристическое уравнение описанным методом для цепи, приведенной на рис. 2.8.

Входное комплексное сопротивление цепи относительно точек разрыва в ветви, содержащей источник E после его замены на нулевое внутреннее сопротивление равно

После замены jw на p имеем

Выполнив соответствующие преобразования, получим

Приравняв нулю, получим характеристическое уравнение цепи

или

=0,

что полностью совпадает с характеристическим уравнением полученным ранее из дифференциального уравнения .