Лекция 2.Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. Законы коммутации.
Мгновенное изменение параметров элементов электрической цепи или включение и отключение источников электрической энергии называется коммутацией.
Процессы, происходящие в результате коммутации, называются переходными процессами.
Во время переходного процесса электрическая цепь переходит от одного режима работы (характеризуемого определенными значениями токов и напряжений на элементах цепи) к другому.
В общем случае( при наличии в электрической цепи как активных так и реактивных элементов) изменение режима работы не может происходить мгновенно. Накопление энергии в реактивных элементах за счет источника или отдача ее в электрическую цепь происходит хотя и в очень малые, но конечные промежутки времени.
Пусть коммутация происходит мгновенно в момент времени, который принят за t=0. В таком случае можно говорить о значении токов и напряжений в момент, непосредственно предшествующий коммутации: i(0-), u(0-) и в момент, непосредственно следующий за коммутацией: i(0+), u(0+). Для того чтобы различать эти значения, аргумент t®0 в первом случае обозначается как 0-, а во втором как 0+
Так как энергия электрического поля конденсатора емкости C определяется его напряжением UC из выражения:
WC=
,
то подводимая к нему мощность равна:
.
Поэтому
при конечной мощности, когда
остается
конечным, напряжение на конденсаторе
изменяется непрерывно (
конечно)
и, следовательно,
.
(2.1)
Данное уравнение выражает один из законов коммутации, согласно которому, напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком.
Точно также энергия магнитного поля индуктивности L определяется током, проходящим через индуктивность:
Подводимая к индуктивности мощность:
При конечной мощности
(2.2)
Выражение (2.2) определяет второй закон коммутации, согласно которому, ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации не может измениться скачком.
Методика расчета переходных процессов классическим методом.
Расчет напряжений и токов во время переходного процесса производят, пользуясь законами Кирхгофа, справедливыми при любых изменениях токов и напряжений в электрической цепи.
Например,
для последовательного
контура,
подключенного к источнику с напряжением
u(t),
уравнение по второму закону Кирхгофа
имеет вид:
Разветвленные же цепи описываются системой уравнений, составленных для контуров и узлов в соответствии с законами Кирхгофа.
В линейных цепях с постоянными параметрами R, L и C такая система уравнений сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Совместное решение этих уравнений относительно искомого тока или напряжения приводит к дифференциальному уравнению искомой величины, а решение этого уравнения определяет закон изменения ее в переходной период.
Как известно, общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений (с правой частью) получается в результате суммирования частного решения данного уравнения и общего его решения при равенстве нулю правой части.
Токи и напряжения, которые получаются в результате частного решения дифференциального уравнения, называются принужденными(iпр, uпр). Физически эти величины равны токам и напряжениям которые установятся в электрической цепи после окончания переходного режима, т,е. спустя бесконечно большое время после коммутации. Они являются постоянными для цепей с постоянными э.д.с. или гармонически изменяющимися для цепей с синусоидальными э.д.с.
Токи и напряжения, определяемые в результате решения дифференциального уравнения без правой части, называются свободными(iсв, uсв).Данные токи и напряжения не зависят от внешних источников электрической энергии, а определяются энергией электрического и магнитного полей, запасенной в реактивных элементах цепи к моменту коммутации. Поэтому решение для iсв и uсв находят по начальным условиям, учитывая два закона коммутации.
Алгебраическая сумма свободной и принужденной составляющих тока или напряжения дает выражения их действительных значений во время переходного процесса:
i=iпр+iсв, u=uпр+uсв.
Следует подчеркнуть, что реально существуют только полные ток i и напряжение u. Разложение же их на свободную и принужденную составляющие есть чисто математический прием, вытекающий из известного способа решения дифференциальных уравнений.
Продемонстрируем выше сказанное на конкретных примерах
Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения.
Рассмотрим электрическую цепь, в которой к источнику постоянной э.д.с. E подключается конденсатор с емкостью C через сопротивление R (рис.2.1).
До включения источника напряжение на конденсаторе равно нулю, следовательно, энергия его электрического поля также равна нулю. После замыкания ключа в цепи возникнет ток и начнется заряд конденсатора. Процесс заряда конденсатора от нуля до нового установившегося значения является переходным процессом, в течение которого энергия источника передается в электрическое поле конденсатора. Для расчета переходного режима после коммутации составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи рис. 2.1, получающейся после замыкания ключа:
.
Дополним его уравнением:
.
Совместное решение приведенных уравнений позволяет получить дифференциальное уравнение цепи:
(2.3).
Решение ищем в виде:
.
Выражение
для принужденной составляющей
,являющейся
частным решением уравнения (2.3.) найдем
из следующих соображений. Как было
указано выше,
принужденная
составляющая искомой функции совпадает
с ее действительным значением спустя
бесконечно большое время после коммутации.
При этом напряжение на конденсаторе
перестает изменяться (
)
и согласно (2.3.):
Выражение для свободной составляющей напряжения найдем из решения уравнения (2.3) без правой части:
Как известно, общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
,
где
-корень
характеристического уравнения
.
Величину
называют
постоянной времени, так как она имеет
размерность времени
и
характеризует скорость затухания
свободной составляющей, а следовательно,
скорость протекания переходного
процесса.
Таким образом, имеем:
.
(2.4)
Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся законом коммутации для ветвей с конденсатором. В момент, предшествующий коммутации, напряжение на конденсаторе равно нулю по условию, а, поскольку напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, получим:
UC(0+)=UC(0-)=0.
Подставляя это начальное условие в уравнение (2.4), получим:
UC(0+)=E+A=0 и A= -E.
Отсюда
,
Графики изменения тока и напряжения на конденсаторе при его заряде построены на рис. 2.2.
Из последнего выражения легко получить:
Следовательно,
постоянная времени t
равна длине подкасательной в любой
точке кривой
.
Рассмотрим функцию к.п.д. зарядного процесса конденсатора.
По определению
;
.
Следовательно,
и
не превышает 50%.