Лекция 2.Классический метод расчета переходных процессов в линейных цепях. Законы коммутации.

Мгновенное изменение параметров элементов электрической цепи или включение и отключение источников электрической энергии называется коммутацией.

Процессы, происходящие в результате коммутации, называются переходными процессами.

Во время переходного процесса электрическая цепь переходит от одного режима работы (характеризуемого определенными значениями токов и напряжений на элементах цепи) к другому.

В общем случае( при наличии в электрической цепи как активных так и реактивных элементов) изменение режима работы не может происходить мгновенно. Накопление энергии в реактивных элементах за счет источника или отдача ее в электрическую цепь происходит хотя и в очень малые, но конечные промежутки времени.

Пусть коммутация происходит мгновенно в момент времени, который принят за t=0. В таком случае можно говорить о значении токов и напряжений в момент, непосредственно предшествующий коммутации: i(0-), u(0-) и в момент, непосредственно следующий за коммутацией: i(0+), u(0+). Для того чтобы различать эти значения, аргумент t®0 в первом случае обозначается как 0-, а во втором как 0+

Так как энергия электрического поля конденсатора емкости C определяется его напряжением U_C из выражения:

W_C=,

то подводимая к нему мощность равна:

.

Поэтому при конечной мощности, когда остается конечным, напряжение на конденсаторе изменяется непрерывно (конечно) и, следовательно,

. (2.1)

Данное уравнение выражает один из законов коммутации, согласно которому, напряжение на конденсаторе в момент коммутации не может измениться скачком.

Точно также энергия магнитного поля индуктивности L определяется током, проходящим через индуктивность:

Подводимая к индуктивности мощность:

При конечной мощности

(2.2)

Выражение (2.2) определяет второй закон коммутации, согласно которому, ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации не может измениться скачком.

Методика расчета переходных процессов классическим методом.

Расчет напряжений и токов во время переходного процесса производят, пользуясь законами Кирхгофа, справедливыми при любых изменениях токов и напряжений в электрической цепи.

Например, для последовательного контура, подключенного к источнику с напряжением u(t), уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид:

Разветвленные же цепи описываются системой уравнений, составленных для контуров и узлов в соответствии с законами Кирхгофа.

В линейных цепях с постоянными параметрами R, L и C такая система уравнений сводится к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Совместное решение этих уравнений относительно искомого тока или напряжения приводит к дифференциальному уравнению искомой величины, а решение этого уравнения определяет закон изменения ее в переходной период.

Как известно, общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений (с правой частью) получается в результате суммирования частного решения данного уравнения и общего его решения при равенстве нулю правой части.

Токи и напряжения, которые получаются в результате частного решения дифференциального уравнения, называются принужденными(i_пр, u_пр). Физически эти величины равны токам и напряжениям которые установятся в электрической цепи после окончания переходного режима, т,е. спустя бесконечно большое время после коммутации. Они являются постоянными для цепей с постоянными э.д.с. или гармонически изменяющимися для цепей с синусоидальными э.д.с.

Токи и напряжения, определяемые в результате решения дифференциального уравнения без правой части, называются свободными(i_св, u_св).Данные токи и напряжения не зависят от внешних источников электрической энергии, а определяются энергией электрического и магнитного полей, запасенной в реактивных элементах цепи к моменту коммутации. Поэтому решение для i_св и u_св находят по начальным условиям, учитывая два закона коммутации.

Алгебраическая сумма свободной и принужденной составляющих тока или напряжения дает выражения их действительных значений во время переходного процесса:

i=i_пр+i_св, u=u_пр+u_св.

Следует подчеркнуть, что реально существуют только полные ток i и напряжение u. Разложение же их на свободную и принужденную составляющие есть чисто математический прием, вытекающий из известного способа решения дифференциальных уравнений.

Продемонстрируем выше сказанное на конкретных примерах

Заряд конденсатора от источника постоянного напряжения.

Рассмотрим электрическую цепь, в которой к источнику постоянной э.д.с. E подключается конденсатор с емкостью C через сопротивление R (рис.2.1).

До включения источника напряжение на конденсаторе равно нулю, следовательно, энергия его электрического поля также равна нулю. После замыкания ключа в цепи возникнет ток и начнется заряд конденсатора. Процесс заряда конденсатора от нуля до нового установившегося значения является переходным процессом, в течение которого энергия источника передается в электрическое поле конденсатора. Для расчета переходного режима после коммутации составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи рис. 2.1, получающейся после замыкания ключа:

.

Дополним его уравнением:

.

Совместное решение приведенных уравнений позволяет получить дифференциальное уравнение цепи:

(2.3).

Решение ищем в виде:

.

Выражение для принужденной составляющей ,являющейся частным решением уравнения (2.3.) найдем из следующих соображений. Как было указано выше, принужденная составляющая искомой функции совпадает с ее действительным значением спустя бесконечно большое время после коммутации. При этом напряжение на конденсаторе перестает изменяться () и согласно (2.3.):

Выражение для свободной составляющей напряжения найдем из решения уравнения (2.3) без правой части:

Как известно, общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

,

где -корень характеристического уравнения

.

Величину называют постоянной времени, так как она имеет размерность времении характеризует скорость затухания свободной составляющей, а следовательно, скорость протекания переходного процесса.

Таким образом, имеем:

. (2.4)

Для определения постоянной интегрирования A воспользуемся законом коммутации для ветвей с конденсатором. В момент, предшествующий коммутации, напряжение на конденсаторе равно нулю по условию, а, поскольку напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, получим:

U_C(0+)=U_C(0-)=0.

Подставляя это начальное условие в уравнение (2.4), получим:

U_C(0+)=E+A=0 и A= -E.

Отсюда

,

Графики изменения тока и напряжения на конденсаторе при его заряде построены на рис. 2.2.

Из последнего выражения легко получить:

Следовательно, постоянная времени t равна длине подкасательной в любой точке кривой .

Рассмотрим функцию к.п.д. зарядного процесса конденсатора.

По определению

; .

Следовательно, и не превышает 50%.