![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
Задача. Оптимизировать интерполяцию полиномом Лагранжа с помощью выбора узлов интерполяции. Как выбрать узлы, чтобы минимизировать погрешность интерполяции?
Решение. Пусть
[a, b]=[-1;1].
Как известно (из лекции 2) погрешность
интерполяции оценивается с помощью
остаточного члена:
.
В лекции 2 была получена оценка:
,
где
,
-
многочлен (n+1)-ой
степени, с коэффициентом
,
построенный по узлам {xn},
являющимся его нулями.
Имеем:.Согласно
свойству 6:
а в силу свойства
5:если выбрать узлы интерполяции в точках
,
то
и достигается в точках
.Но
так как многочлен
построен по тем же нулям, что и
,
и имеет коэффициентan+1=1,
то
.Отсюда
следует, что
-
наименьшее значение по сравнению с
любыми другими вариантами выбора узлов
интерполяции.Вывод:
выбор узлов интерполяции в качестве
нулей полинома
является оптимальным по точности
интерполяции многочленом
Ln(x)
.
Замечание.Для
интерполяции на произвольном конечном
отрезке [a;b]
предварительно
нужно сделать замену переменной:.и
преобразовать ф-лу для узлов.
1.9. Равномерное
приближение функций на отрезке. Пусть
-пространству
непрерывных на отрезке [a,b]
функций.Введем норму:
.Расстояние
между элементамиf и g , принадлежащих
пространствуС, порожденное данной
нормой, вычисляется следующим образом:
.
Введенные
таким образом норма и расстояние
удовлетворяют всем необходимым
свойствам.Пусть
-
система многочленов.Обозначим
-
многочленn-ой степени. Задача
приближения функции в метрикеСмногочленамиn-ой степени допускает
2 постановки:1. Аппроксимация с
заданной точностью: по заданному
найти такой многочлен
,
что
. (7)
2.
Найти многочлен наилучшего равномерного
приближения, то есть, (8)
гдеMn-
семейство многочленов n-ой
степени.
Рассмотрим простейший вариант решения задачи 1-ого типа.
Пусть отрезок
[a,b]=[-1;1]
и f(x)
достаточно гладкая функция, например,
.
Тогда найдется такоеn
(такая степень интерполяционного
полинома), что выполняется (7).
Покажем решение подобной задачи на примере.
Пример 1.Пусть
Приблизить
функциюf(x)
многочленом n-ой
степени так, чтобы выполнялось условие
Установить порядок полинома, реализующего данное условие.
Очевидно, что для
данной f(x)
существуют производные любого порядка
на [-1,1]. В качестве аппроксимирующего
полинома возьмем полином Лагранжа
Ln(x),
построенный по нулям полинома Чебышева
Tn+1(x).В
силу свойств полинома Чебышева, имеем
следующую оценку остаточного члена:
Вычисляя производные заданной функции f(x), последовательно получаем:
Отсюда
получаем оценку
Учитывая,
что
достаточно выбрать
порядок полинома Лагранжа Ln(x)
из условия:
Нетрудно убедиться, что n=4 удовлетворяет поставленному условию.
Следовательно
полином Лагранжа L4(x),
построенный по нулям полинома Чебышева
T5(x),
аппроксимирует функцию
c
заданной точностью.
Для произвольной f(x) (не достаточно гладкой) задача 1 решается уже не так просто.
Заметим, что характер близости в норме С сильно отличается от среднеквадратической близости ( в норме L2), что демонстрирует следующий пример.
Пример 2.Пусть f(x)- кусочно-линейная на отрезке [a,b] – изображена на рисунке.
,
.
Показать,
что при
и
.
Решение.самостоятельно
или на семинаре. Вывод:
при
,
то есть среднеквадратическая близость
не гарантирует близости в норме С.
С другой стороны, очевидно, что если, например,
.
Таким образом, близость в норме С более жесткое условие, чем близость в норме L2.