![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
33-34Численное дифференцирование.
Существует два подхода к выводу формул численного дифференцирования.
1. Интерполяционный
подход. Полагаем
,
где
-
интерполяционный многочлен Лагранжа,
, причем остаточный член формулы
дифференцирования выражается через
Недостаток: при стремлении получить достаточно высокую точность приходится использовать большое количество узлов, в которых вычисляется значение функции. Если функция задана таблично, то такой подход приемлем.
2. Конечно-разностная
аппроксимация, основанная на Тейлоровском
разложении. Рассмотрим этот подход
более подробно. Пусть задана сетка
,
где h - шаг сетки
Теорема 1.Имеют
место следующие утверждения: Пусть
.
(1)
.
(2)
.
(3)
(4)
Для определенности
докажем (4): используем тейлоровское
разложение в точках x1
и x-1
.
Складывая эти две
формулы, получим
.
В силу непрерывности
четвертой производной
.
Замечание.
Формулы (1), (2), (3) и
(4) называются формулами численного
дифференцирования. При этом формула
(1) - определяет правую
разностную производную
и имеет порядок точности
,
формула (2) – определяетлевую
разностную производную и
имеет порядок точности
,
формула (3) - определяетцентральную
разностную производную первого
порядка и имеет порядок точности
,
формула (4) - определяетцентральную
разностную производную второго
порядка и имеет порядок точности
.
35-36.Численные методы решения задачи Коши.
Задача для ОДУ первого порядка для функции одной переменной ставится следующим образом
(5) Более общая
постановка задачи Коши для дифференциального
уравнения n-го
порядка
(6)
Здесь
- заданные числа (начальные условия).
Задача (6) с помощью замены переменных
,
.
сводится к системе дифференциальных
уравнений первого порядка:
(7)
Систему (7) можно
переписать в векторном виде:
, где (8)
,
,
.
Система (8) исследуется и решается
аналогично одномерной задаче Коши (5),
поэтому важно изучить, прежде всего,
численные методы решения задачи (5). В
курсе математического анализа
формулируется и доказывается теорема
существования и единственности решения
задачи Коши. Отметим, что для выполнения
теоремы необходимо и достаточно, чтобы
функция
имела непрерывные частные производные
в замкнутой ограниченной области
на плоскости
.
Будем искать решение задачи (5) в
прямоугольниках
Введем сетку на оси
,
Простейший итерационный процесс решения
(5) на сетке
получается, если аппроксимировать
производную
на сетке правой конечной разностью.
Обозначая приближенное решение на сетке
,
получим
или
(9)
Итерационная процедура (9) называется “метод Эйлера” (или “метод ломаных”). Дадим графическую иллюстрацию метода.
Начав
движение из точки
на точном решении
,
итерационное решение образует ломаную
линию, каждый отрезок которой представляет
собой касательную к кривой
,
проходящую через данную точку. Например,
- уравнение касательной кu(x)
в точке
.
гдеu1(x1)-та
интегральная кривая, которая проходит
через точку (x1,y1).
Из рисунка видно, что ошибка
растет с
номером k. Выясним, каков порядок этой
ошибки в сеточной норме
Оценка
погрешности метода Эйлера. Будем
считать, что ошибка округления имеет
порядок не меньший, чем
.
Тогда из (9) следует:
(10) Разложим
точное решение
задачи (5) в точке
с такой же точностью:
(11) Вычтем(11)
из (10)
(12)
где
В силу условий теоремы существования
и единственности частные производные
ограничены в прямоугольнике
:
Обозначим
и оценим (12) по модулю
(13)
по условию. Обозначим
(14)
Теорема 2. Для метода Эйлера имеет место следующая оценка погрешности:
(15)
Из (13) следует
(рекурсия назад)
Используя
алгебраическое тождество
получаем
(16)
(В последнем неравенстве использовано свойство второго замечательного предела) Учитывая, что
получим
,
т.е. оценку (15).
Замечание.
Из соотношения (16) следует, что 1. Ошибка
растет с номером шага k.
2. Порядок ошибки в методе Эйлера
.