![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
(1)
Задача называется краевой, так как заданы два краевых условия.
Отличие от задачи Коши: в задаче Коши все дополнительные условия даются в одной точке, в краевой задаче - в разных точках. Иногда можно привести краевую задачу к типу задач Коши. Встает проблема: как использовать граничное условие на правом конце?
Пусть дана сетка
- шаг сетки.
Аппроксимируем
на сетке
производные с порядком
:
;
Подставив данные соотношения в (1) получим:
.
Умножим все на
,
тогда получим следующую запись системы:
,
где
(2)
и
симметричны относительно 1.Надо с той
же точностью аппроксимировать граничные
условия: первого рода :
второго
рода :
третьего рода :
Аппроксимация граничных условий:
на левом конце отрезка:
Выражаем
:
А
из уравнения (1):
.
После подстановки
и приведения подобных слагаемых,
получаем:
аналогично поступаем с краевым условием на правом конце отрезка. В итоге получаем неявную схему
(2’)
Таким образом, получили трех диагональную систему, которая решается прогонкой.
47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
Рассмотрим снова
краевую задачу для ОДУ 2-го порядка
(1).Удобно представить оператор
таким образом, чтобы он включал в себя
краевые условия:
(3)
задача (3) запишется в виде
(3’)
Определение1.Говорят,
что задача (3) аппроксимирована на сетке
с порядком
,
если
,(4)где
-
точное решение на сетке,
-сеточное
решение задачи (3),
-
сеточная норма. Заметим, что по определению
сеточное решение
.
С другой стороны,
,
т.к. при подстановке точного решения в
левую часть сеточного уравнения системы
(3), получим несколько иную сеточную
правую часть. Поэтому, обозначив
-
“невязка”, из (4)
-
по условию аппроксимация порядкаp.
Итак
(5)
Определение2.Пусть
- невозмущенная задача на сетке, (6)
- возмущенная задача, причем
.Разностная
схема (6) устойчива “в целом”, если малое
изменение “правой части” приводит к
малому изменению решения, т.е. если
где с2
не зависит от h.
Пример1.Пусть
в задаче Коши функция f(x,u)
линейна по переменным.
Приведем к
каноническому виду одношаговый
итерационный процесс.После аппроксимации производнойy’
на сетке wh
в точке (xn,yn),
получаем
(7)
К такому же виду может быть приведена система уравнений в задаче Коши, где уже yn– вектор,Rh– матрица.
Пример2.Приведем к такому же виду краевую задачу (3).
Введем векторы:
и
матрицу
(3)
переписывается в виде
(8)
При
таком преобразовании можно исследовать
отдельно устойчивость по правой части
и устойчивость по граничным условиям.
Теорема1.
(Необходимый
и достаточный признак устойчивости
процедуры (8) по правой части). итерационная
процедура устойчива по правой части
тогда и только тогда, когда,
где с не зависит от h (т.е. от N)Однако, это условие не всегда легко проверить. Поэтому для конкретных итерационных схем вырабатываются и доказываются конкретные достаточные условия. Таковы, например, условия “благонеявного преобладания” для схем прогонки.
Теорема2.(Необходимый спектральный признак устойчивости).
Пусть
- собственные числа оператора Rh.
Для устойчивости схемы (8) по правой
части необходимо выполнение условия:
,(9)
причем
константа
не зависит от h (отN).
Пусть (9) не выполняется для некоторого
собственного значения
.
То есть, не существует такой константы
,
для которой (9) выполнялось бы для данного
.
Фактически, это означает, что вместо
линейного ограничения имеем:
,
где 0<<1,c1-некоторая
константа.Пусть
- соответствующий собственный вектор,
т.е.
Оценим по сеточной норме:
.Из
последнего неравенства следует:
Заметим, что
по условию на,
поэтому
т.е. нарушается условие устойчивости,
сформулированное ранее. Происходит
экспоненциальный рост ошибки.
Рассмотрим снова сеточное уравнение вида (6)
Теорема
3.(О сходимости
разностной схемы (6)).Пусть конечно-разностная
задача (6) однозначно разрешима,
аппроксимирует исходную дифференциальную
задачу с порядком p относительно h и
устойчива. Тогда имеет место сходимость:,
где
-
решение сформулированной разностной
задачи;
- точное решение дифференциальной
задачи, взятое на сетке.При этом, если
выполняется условие
,то
говорят, что имеет место сходимость
порядка p.
Согласно условию теоремы имеет место
аппроксимация порядка p:
(10)
(11)
-
невязка, которая получается при
подстановке точного решения в левую
часть уравнения. Подставляя в (10):
(12)В возмущенном уравнении
в
качестве возмущения выберем невязку,
т.е. положим
,
тогда
. (13)
В
силу старого определения устойчивости
имеем:.(14)
Уравнения (11) и
(13) имеют одинаковые правые части. В силу
однозначной разрешимости задачи (6),
имеем:,подставим
в (14)
Таким образом, мы одновременно доказали сходимость и установили, что порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.