![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
37-39.Методы Рунге-Кутта.
Методы Рунге-Кутта
- это группа итерационных методов решения
задачи Коши (4), характеризуемая следующими
условиями: 1)Это одношаговые методы,
т.е. при переходе из точки
в точку
используется лишь информация о предыдущей
точке
.
Этому условию соответствует такая общая
запись итерационной процедуры
,
(17) где
выражается через значения функции
в точке
или близким к ней (сдвинутым на долю
шага). 2. Процедура (16) согласуется с рядом
Тейлора вплоть до членов порядка
,
гдеp
-порядок метода. 3. Метод не использует
производных от
,
а требует только вычисления функции в
различных точках сетки, причем число
вычислений функции - минимально возможное
для данного порядка. Заметим, что метод
Эйлера является частным случаем метода
Рунге-Кутта, имеющий наименьший первый
порядок точности. Рассмотрим один из
примеров повышения порядка точности
метода Рунге-Кутта (16) до второго порядка.
Представим
в виде следующей линейной комбинации
.
Разложим функцию
в точке
в ряд Тейлора до членов первого порядка
включительно
.
Подставляя эти формулы в (16) , получим:
.
(18) (все входящие в правую часть функции
берутся в точке
)
Аналогичное разложение по Тейлору
напишем для функции
,
используя уравнение
.
(19) Требуя совпадения коэффициентов
разложений (18) и (19) при одинаковых
степеняхh,
получим систему уравнений для неизвестных
коэффициентов
:
(20)
Система (20)
недоопределена. Поэтому один из
коэффициентов можно задать произвольно.
Например, положим
.
Решая (20), получим
.
Итерационная процедура (17) приобретает
вид
. (21)
Учитывая результат
теоремы 2, заключаем, что точность этого
метода
,
т.е. данный метод - второго порядка.
Рассмотрим некоторые частные случаи процедуры (21).
Отбрасывая погрешность, получаем
. (22)
Полученный метод Рунге-Кутта носит название “предиктор-корректор”. Чтобы прояснить смысл этого названия разобьем процедуру (22) на два этапа:
На первом этапе
“предсказываем” значение
по методу Эйлера. На втором этапе это
значение корректируется путем усреднения
угловых коэффициентов в точках
и
.
За счет коррекции, точность данного
метода и повышается на порядок по
сравнению с методом Эйлера.
Согласно (21) , получаем
. (23)
Обозначим
.
Тогда (23) разбивается на два этапа:
На первом этапе
находим
- прогнозируемое значение на половинном
шаге от точки
по методу Эйлера.
Вычисляем наклон
интегральной кривой в точке
,
и на втором этапе, двигаясь по касательной
с данным угловым коэффициентом из точки
(
)
в точку (
),
получаем окончательно
Полученный метод носит название
“модифицированный метод Эйлера”.
Замечание 1.
Существуют процедуры Рунге-Кутта повышенной точности (порядка 3, 4, 5…). Например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности (наиболее употребляемый на практике) сформулирован следующим образом
где
(24)
Если
,
то погрешность процедуры
.
Замечание 2.
При практическом
применении методов Рунге-Кутта возникает
вопрос: какой формулой пользоваться на
практике? Если априори известно, что
- достаточно гладкая функция, например,
,
то наиболее эффективна процедура (24).
Если же гладкость функции
недостаточна, то лучше использовать
методы второго и третьего порядка.
Замечание 3.
В среде МАТЛАБ реализованы две процедуры Рунге-Кутта:
ode23 – метод второго и третьего порядка
и ode45 - метод четвертого и пятого порядка.
В лабораторной работе 7 предусмотрено знакомство с этими командами.