- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
Пусть , h>0, i=0, …, n
Определение 2.1. Величина называетсяконечной разностью первого порядка.
2. Величина
называется конечной разностью второго порядка.
. . . . . . . . . . . . . . . .
n. Величина называетсяконечной разностью n-го порядка.
Лемма 1.Для равноотстоящих узлов между разделенными и конечными разностями существует следующая связь:
, k = 0, 1, … (17)
По индукции: k=0 – очевидно; k=1
- верно.
Пусть (17) установлено для номера k. Докажем, что тогда оно верно и для номера (k+1).
(k+1):
Т.о., установлено, что (17) верно для k{0, 1, …,n}.
Лемма 2.Пусть задана сетка равноотстоящих узлов на отрезке [a,b]:
a x0 < x1 <…< xn < xn+1 b, xk = x0 + hk, k = 0, 1, …, n+1
и .Тогда существует точкатакая, что
(18)
По индукции:
k=1:
k=2:
………………………………… и т.д.
k=n+1:.
Установим теперь вид многочлена Ньютона для равноотстоящих узлов.
Введем переменную . Очевидно, что, если
x-xk=h(q-k), k = 0, 1, …, n.В формуле полинома Ньютона (9) выразим все разности (x-xk) через q и все разделенные разности по формуле (17):
(19)
Оценим погрешность формулы Ньютона (19).Из формул остаточного члена (4) и (5) с учетом леммы 2, ,,и так далее.
Земечание.
Интерполяционную формулу (19) применяют на практике для точек x, близких к x0. Если необходимо вычислить приближенное значение функции f(x) в точках x, близких к правому концу отрезка, то полагают и записывают интерполяционный многочлен Ньютона в терминах данногоq.
9. Среднеквадратичное приближение функции.
Рассмотрим задачу наилучшего среднеквадратичного приближения функции полиномомпо системе.
Определение 1.Обобщенным полиномом порядка m по системе {k} называется линейная комбинациягдеCk – произвольные вещественные коэффициенты.
Задача. Найти полином , наименее уклоняющийся от функцииf в метрике L2, т.е. удовлетворяющий условию:
Теорема 1.Если система линейно независима, то задача наилучшего среднеквадратичного приближения по этой системе однозначно разрешима.
Запишем квадрат расстояния между функцией и полиномом:
(1)
Очевидно, что величина - неотрицательно определенная квадратичная функция переменных, а такая функция достигает минимального значения. Таким образом, решение задачи среднеквадратичного приближения существует.
Докажем единственность решения.
Запишем необходимые условия минимума:,i=0,…,m.
Вычисляя частные производные по ci выражения (1), получим линейную cистему уравнений: (2)
Система (2) называется нормальной системой.
Выпишем определитель этой системы
(3)
Определитель системы (3) – так называемый определитель Грама системы . Известно, что если система- линейно независима, то определитель0 (легко доказывается от противного). Согласно условию теоремы0 и система (2) имеет единственное решение.