![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •1. Структура погрешности в численном анализе.
- •2.3.Округление.
- •4. Понятие близости в метрическом пространстве.
- •Примеры классов функций и соответствующих нормированных пространств.
- •Задача наилучшего приближения в нормированном пространстве.
- •Задача приближения полиномами.
- •Интерполяция.
- •Конечные разности.
- •7.Интерполяционный многочлен Ньютона.
- •6.Запись интерполяционного многочлена для равноотстоящих узлов.
- •9. Среднеквадратичное приближение функции.
- •10. Классические ортогональные многочлены и их применение в задачах приближения функций.
- •11.Полиномы Лежандра. Построение и использование в задачах ср.Кв.Приближения.
- •С другой стороны
- •12. Некоторые общие свойства ортогональных полиномов.
- •13. Многочлены Чебышева, их свойства .
- •14.Первые применения многочленов Чебышева к задаче интерполяции.
- •15. Квадратурные формулы на основе интерполяций.
- •Формулы Ньютона-Котеса.
- •18 Квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля.
- •19. Запишем квадратурную формулу для произвольного, но фиксированного распределения узлов :
- •21 .Принцип сжатых отображений.
- •23 Метод Ньютона.
- •24.Численные методы линейной алгебры.
- •27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
- •33-34Численное дифференцирование.
- •35-36.Численные методы решения задачи Коши.
- •37-39.Методы Рунге-Кутта.
- •41.Постановка краевой задачи для оду второго порядка:
- •47.Аппроксимация, устойчивость и сходимость разностных схем.
27 Стационарные итерационные процедуры. Теоремы о сходимости.
Пусть
задана система ЛАУ общего вида (первого
рода): Ax=b;
x,b
Rn,
. (1) Требуется
привести данную систему к виду x=Tx+d
(2) с матрицей
(оператором) Т,
удовлетворяющей
условию
в какой либо матричной норме. Рассмотрим
простейший прием такого преобразования.x=x-H(Ax-b),
(3)
где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb.
Некоторые определения.
Итерационная процедура, основанная на представлении (3) xk=xk-1-H(Axk-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.
Более общая линейная нестационарная итерационная процедура записывается в виде:
xk= xk-1-Hk(A xk-1-b), где Hk – матрица расщепления k-го шага. Соответственно матрица перехода Tk=E-HkA – называется матрицей перехода k-го шага. Ниже будут более подробно рассмотрены стационарные итерационные процедуры. Связь условия сходимости линейного стационарного процесса со свойствами спектра матрицы Т устанавливает следующая теорема.
Теорема
1. Пусть
система (4) имеет единственное решение
стационарная процедура
(6) сходится к
решению системы (4) при
тогда и только тогда, когда все собственные
значения матрицыТ
по модулю меньше 1.
Достаточность.
Заметим,
что условие теоремы равносильно условию
. Пусть
x*
- точное (и единственное) решение системы
(4). Запишем следующую систему:
Вычитая из первого
уравнения второе, получаем: xk-
x*
= T(xk-1-
x*).
Обозначим
- ошибкаk-ого
шага. Тогда
(7)
является
итерационной процедурой для операторного
уравнения r=Tr,
достаточным
условием сходимости которой, согласно
принципу сжатых отображений, является
условие
.Заметим,
что матрица Т- вещественная. Рассмотрим
в качестве нормы матрицы Т- спектральную
норму:
по условию теоремы
и достаточность доказана.
Необходимость.
От противного.
Пусть одно из собственных значений
матрицы Т,
например,
и пустьy -
соответствующий
собственный вектор:
.
Выберем начальное приближение в виде
,
гдеС -
некоторая
константа.
Запустим
итерационную процедуру:
не
может быть нарушено условие
.
28.
Рассмотрим простейший прием такого преобразования. x=x-H(Ax-b), (3) где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb. Итерационная процедура, основанная на представлении (3) xk=xk-1-H(Axk-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.
Рассмотрим
некоторые частные случаи стационарных
процедур, зависящих от выбора матрицы
Н. Пусть
матрица
перехода в этом случае имеет вид:T=E-A.
Получаем
так называемый метод простых итераций,
или метод
Ричардсона. Выясним
условия сходимости метода Ричардсона.
Пусть
собственное
значение матрицыТ,
собственное значение матрицы А.
является
корнем характеристического уравнения
,
корнем
уравнения
или:
,
откуда следует, что
.
Согласно
теореме 1, условие сходимости:
Последнее
условие, например, выполняется, если
и
.
Теорема
1.Пусть
система (4) имеет единственное решение
стационарная процедура
сходится к решению
системы
x=Tx+d,
где T=E-HA,
d=Hb.
при
тогда и только тогда, когда все собственные
значения матрицыТ
по модулю меньше 1.
29.
Рассмотрим простейший прием такого преобразования. x=x-H(Ax-b), (3) где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb. Итерационная процедура, основанная на представлении (3) xk=xk-1-H(Axk-1-b)(5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.
Пусть
,
где
некоторый
параметр сходимости, с помощью которого
можно оптимизировать процедуру
Ричардсона. Матрица перехода в этом
случае имеет вид:
.
Теорема
2.Пусть
и
,
является оптимальным значением параметра
сходимостиобобщенной
итерационной процедуры Ричардсона:
.
Т.к.
,то все
собственное значения матрицы А
m, M>0 и
.Выберем
в качестве матричной нормы - спектральную
норму
.
По определению,
,
поэтому, чем меньше спектральный радиус,
тем быстрее сходится итерационная
процедура в соответствии с принципом
сжатых отображений. Пусть
собственное значение матрицы
корень
уравнения
,
- корень уравнения:
Из сравнения двух
характеристических уравнений
Таким образом, имеем
.
|
Так
как функция
|
Найдем
такое
,
для которого
. (8)
Легко
проверить, что при
выполняются следующее условие:
- обозначим.Покажем, что полученное
значение
как раз и является оптимальным в смысле
критерия (8).
Пусть,
например,
.
Из
последних равенств видно, что при любом
знаке
один из модулей будет
,
т.е.
,
что и требовалось доказать.
30-32
Релаксационные методы.
Пусть
задана система ЛАУ общего вида (первого
рода): Ax=b;
x,b
Rn,
. (1) Требуется
привести данную систему к виду x=Tx+d
(2) с матрицей
(оператором) Т,
удовлетворяющей
условию
в какой либо матричной норме. Рассмотрим
простейший прием такого преобразования.x=x-H(Ax-b),
(3)
где Н- некоторая невырожденная матрица. Из (3) следует, что x=Tx+d, где (4) T=E-HA, d=Hb.
Итерационная процедура, основанная на представлении (3) xk=xk-1-H(Axk-1-b) (5) называется линейной стационарной итерационной процедурой; при этом матрица Т в представлении (4) называется матрицей перехода, а матрица Н – матрицей расщепления.
В данном классе методов приведение системы (1) к виду (4) осуществляется с помощью расщепления матрицы А, т.е. ее представления в виде: A=D-CL-CU ,(9) где
D=- диагональная матрица,CL=
-строго
нижняя (левая) треугольная матрица,
CU=
-строго
верхняя (правая) треугольная матрица.
Подставляя представление (9) в систему
(1) Ax=b
Dx=(CL+CU)x+b
x=D-1(CL+CU)x+
D-1b
x=Tx+d,
где T=
D-1(CL+CU)=
D-1(D-A)=E-
D-1A,
d=
D-1b,
H= D-1
- матрица
расщепления. Получаемый при этом
итерационный метод называется методом
Якоби.
Необходимое условие сходимости:
(иначе не существуетD-1).
Достаточные условия сходимости в
соответствии с теоремой 1:
.
Или более простое условие: пусть матрицаА -
вещественная, причем
(такая
матрицаА
называется матрицей со строгим
диагональным преобладанием).
Метод
Якоби может быть оптимизирован следующим
образом. Снова воспользуемся разложением
(9) и запишем систему в виде: x=D-1CLx+
D-1CUx+d.
(10) Нетрудно убедиться, что при
покомпонентной записи (10)
,
где
вектор
gLx
содержит только первые (i-1)
компонент вектора х
, а вектор
gUx
- содержит
компоненты, начиная с (xi+1)
.
(11) Процедура
(11) носит название итерационный
метод Гаусса-Зейделя
Условия
сходимости - те же, что и для метода
Якоби, но при этом получается дополнительное
ускорение процедуры. Более эффективное
ускорение сходимости метода Зейделя
может быть достигнуто с помощью
ускоряющего множителя (как в обобщенном
методе Ричардсона). Получающийся при
этом алгоритм носит название “метод
последовательной верхней релаксации”
и реализуется в два этапа:
(12) где
-релаксационный
параметр. Если
,
то при
итерационная процедура сходится.
Теорема
1. Пусть
система (4) имеет единственное решение
стационарная процедура
(6) сходится к
решению системы (4) при
тогда и только тогда, когда все собственные
значения матрицыТ
по модулю меньше 1.