3) Задержка сигнала. Сдвиг сигнала во времени приводит к умножению спектра на фазовый множитель.
Если
s(t) S( f ), s1 (t) s( t t0 ),
то
s1 (t) S1 ( f ),
где
S1 ( f ) S f e i 2 f t0
!Доказать свойство линейности преобразования Фурье.
!Доказать свойство задержки сигнала в преобразовании Фурье.
53
4) Свертка сигналов. Сигнал являющийся сверткой двух других сигналов имеет спектр равный произведению спектров исходных сигналов.
Если |
|
s1 (t) S1 ( f ), |
s2 (t) S2 ( f ), |
|
|
s(t) s1 (t1 ) s2 (t t1 ) d t1,
тогда
s(t) S( f ),
где
S( f ) S1 ( f ) S2 ( f )
54
Докажем четвертое свойство:
|
|
|
|
|
i 2 f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 |
f t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S( f ) s(t) e |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||||||
|
|
|
|
s1 (t1 ) s2 (t t1 ) dt1 e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 |
f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
s2 (t t1 ) e |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(t1 ) |
|
|
dt1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 f1 t |
|
|
|
|
i 2 f u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
s1 (t1 ) |
e |
|
s2 |
(u) e |
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
dt1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u) e i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s (t) e i |
|
|
dt |
|
s |
f u du |
S |
|
( f ) S |
|
( f ) |
||||||||||||||
|
2 f t |
|
|
|
1 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
5) Произведение сигналов. Сигнал являющийся произведением двух других сигналов имеет спектр равный свертке спектров исходных сигналов
Если
s1 (t) S1 ( f ), s2 (t) S2 ( f ), s(t) s1 (t) s2 (t)
то
s(t) S( f ),
где
S( f ) S1 ( f1 ) S2 ( f f1 ) d f1,
! Доказать свойство произведения сигналов в преобразовании Фурье.
56
6) Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Для преобразования Фурье имеет место следующее интегральное равенство (равенство Парсеваля).
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
s |
(t) dt | |
S( f ) | |
d f |
(40) |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Докажем шестое свойство: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
i 2 f t |
|
|
||
s |
|
|
|
|
S( f ) e |
|
|
|||||
|
(t) dt s(t) |
|
|
|
d f dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 f t |
* |
|
||
|
|
s(t) e |
|
( f )d f |
||
S( f ) |
|
dt df S( f ) S |
||||
|
|
|
|
|
|
|
| S( f ) |2 d f
|
57 |
|
7) Дифференцирование по временной области. Сигнал являющийся производной от другого сигнала имеет спектр равный спектру исходного сигнала умноженному на частоту и коэффициент (2 i ) .
Если
s(t) S( f ), s1 (t) s ( t),
то
s1 (t) S1 ( f ),
где
S1 ( f ) ( 2 i) f S f
58
Докажем седьмое свойство, с помощью интегрирования по частям:
|
|
|
|
S |
1 |
( f ) s (t) e i 2 f t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e i 2 f t d s(t) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt s (t) e i 2 f t dt |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 f t |
s(t) |
|
|
s(t) d e i 2 f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i 2 f |
s(t) e i 2 f t dt ( 2 i) f S f |
|
|
|
|
59
8) Дифференцирование в частотной области. Сигнал являющийся произведением другого сигнала на время и коэффициент (– 2 i ) имеет спектр равный производной по частоте от спектра исходного сигнала.
Если
s(t) S( f ), s1 (t) ( 2 i) t s( t),
то
s1 (t) S1 ( f ),
где
S1 ( f ) S f
! Доказать восьмое свойство преобразования Фурье.
60
Обобщенное преобразование Фурье
Нахождение преобразования Фурье для периодических сигналов вызывает некоторые затруднения. Дело в том, что любой периодический сигнал является инфинитным, т.е.
отличен от нуля на всем временном интервале t .
Поэтому нарушается основное условие существования
преобразования Фурье:
s(t) dt
61
Выход из этого положения состоит в переходе к обобщенному преобразованию Фурье, где используется
дельта-функция. Покажем это на примере.
Рассмотрим спектр периодического сигнала. Пусть это будет гармонический сигнал с частотой f1.
s(t) cos(2 f1 t)
Используя формулу Эйлера просто получить спектр этого сигнала.
|
|
|
ei 2 f1 t e i 2 f1 t e i 2 f t d t |
|
S( f ) cos(2 |
f1 t)e i 2 f t d t 1 |
|||
|
2 |
|
||
12 |
|
12 |
|
|
e i 2 ( f f1 ) t d t |
|
e i 2 ( f f1 ) t d t |
||
|
|
|
|
|
62