Далее в формулах (37) совершаем предельный переход.
T , |
f 0, |
fk f |
В результате получаем:
s(t) S( f ) ei 2 f t d f
|
(38) |
S( f ) s(t) e i 2 f t dt
43
В математическом анализе доказывается, что преобразование Фурье (38) справедливо для функций s(t) удовлетворяющих следующим условиям.
1) Функция s(t) должна быть абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, т.е.
s(t) dt
2) Функция должна быть кусочно-гладкая на любом конечном интервале.
44
Спектральный анализ и преобразование Фурье
Кроме временного представления сигналов, где сигнал это функция времени s( t ), при анализе и обработке сигналов, используется также частотное представление сигнала в виде функции частоты S( f ) . Функции s( t ) и S( f ) связаны друг с другом преобразованием Фурье. (38)
Здесь второе выражение называется прямое преобразование Фурье, а первое выражение называется обратное преобразование Фурье. Функция S( f ) называется спектром сигнала s( t ).
Функция S( f ) является комплексной функцией, и может быть представлена в алгебраической и показательной форме.
S( f ) a( f ) i b( f ) S( f ) ei ( f )
45
Из спектра S( f ) можно получить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) A( f ) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ) ( f ) сигнала, с помощью соотношений.
A( f ) |
|
S ( f ) |
|
, |
(39) |
|
|
||||
( f ) arg(S ( f )) |
|
||||
Отметим некоторые из свойств, преобразования Фурье. Первое, если сигнал вещественная функция, то для спектра S( f ) выполняются следующие соотношения четности
46
S* ( f ) S ( f ), |
|
a ( f ) a ( f ), |
b( f ) b( f ), |
A( f ) A( f ), |
( f ) ( f ) |
Здесь звездочка означает комплексное сопряжение. Из этих соотношений видно, что для вещественного сигнала, АЧХ - четная функция, а ФЧХ – нечетная функция.
Второе, если сигнал вещественная четная функция времени
s ( t) s (t)
то для спектра выполняются следующие соотношения
S* ( f ) S ( f ),
a ( f ) a ( f ), |
b( f ) 0, |
A( f ) A( f ), |
( f ) 0, |
47
Третье, если сигнал вещественная нечетная функция времени
s ( t) s (t)
то для спектра выполняются следующие соотношения
S* ( f ) S ( f ), |
|
|
a ( f ) 0, |
, b ( f ) b ( f ), |
|
|
|
|
A( f ) A( f ), |
( f ) 2 |
|
Здесь действительная часть спектра равна нулю.
48
Сигнал s(t) и его частотный спектр S(f) взаимно однозначно соответствуют друг другу через прямое и обратное преобразование Фурье. Это соответствие будем обозначать следующим образом
s(t) S( f )
49
Свойства преобразования Фурье
Кроме рассмотренных выше свойств спектра, преобразование Фурье обладает целым рядом полезных свойств для прикладных задач.
1) Линейность. Линейной комбинации сигналов, соответствует линейная комбинация спектров.
Если |
|
|
s1 (t) S1 ( f ), |
s2 (t) S2 ( f ), |
s(t) a s1 (t) b s2 (t), |
тогда |
|
|
s(t) S( f ), |
|
|
где |
|
|
S( f ) a S1 ( f ) b S2 ( f )
50
2) Изменение масштаба. Если у сигнала временной масштаб уменьшается в a раз, то у спектра частотный масштаб возрастает в a раз.
Если |
|
|
|
|
|
|
|
s(t) S( f ), |
s1 (t) s(a t), |
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
s1 (t) S1 ( f ), |
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
S1 ( f ) |
1 |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
S |
|
|
||
| a |
| |
a |
|||||
|
|
|
|||||
51
Докажем второе свойство:
S1 ( f ) s1 (t) e i 2 f t dt s(a t) e i 2 f t dt
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i 2 |
f |
u |
|||
|
|
|
|
f |
|
s(u) e |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||
|
1 |
s(a t) e |
i 2 |
|
(a t ) |
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
d (a t) |
|
1 |
|
|
|
|
f |
||||
|
|
|
|
|
|
|
s(u) e |
i 2 |
|
|
u |
||||
|
|
|
|
|
a |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du, if a 0
du, if a 0
|
1 |
|
|
i 2 |
f |
u |
|
1 |
|
f |
|
|
|
s(u) e |
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
du |
|
S |
|
|
||
| a |
| |
|
| a | |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
52