Отметим следующие свойства ряда Фурье, которые видны из этих графиков
1)С увеличением числа членов N частные суммы все точнее описывают сигнал, за исключением областей вблизи точек разрыва.
2)Выполняется свойство, о котором говорилось выше – в точке разрыва ряд Фурье сходится к среднему значению в точке разрыва. Например, в точке t = 0 мы имеем
f ( 0) f ( 0) 1 1 0 2 2
33
3) Вблизи точек разрыва наблюдаются пульсации, которые |
|
не пропадают с увеличением числа членов ряда N , пульсации |
|
лишь сжимаются, приближаясь к точке разрыва. Это явление, |
|
присущее рядам Фурье для любых сигналов с разрывами |
|
первого рода (скачками), называется эффектом Гиббса. |
|
! Найти коэффициенты ряда Фурье для периодической f(t) |
|
функции с периодом T = 1 , и заданной на периоде |
|
следующими соотношениями. |
|
1, |
t [ 1/ 4, 1/ 4], |
f (t) |
t [ 1/ 4, 1/ 4] |
0, |
|
Написать программу в пакете MATLAB и построить графики |
|
частных сумм ряда Фурье. |
34 |
|
|
! Найти коэффициенты ряда Фурье для периодической f(t) |
||
функции с периодом T = 1 , и заданной на периоде |
||
следующим соотношением. |
|
|
f (t) t, |
|
t [ 1/ 2, 1/ 2] |
Написать программу в пакете MATLAB и построить графики |
||
частных сумм ряда Фурье. |
|
|
f (t) t, |
t [ 1/ 2, 1/ 2] |
|
! Найти коэффициенты ряда Фурье для периодической f(t) |
||
функции с периодом T = 1 , и заданной на периоде |
||
следующим соотношением. |
|
|
f (t) 1/ 2 | t |, |
t [ 1/ 2, 1/ 2] |
|
Написать программу в пакете MATLAB и построить графики |
||
частных сумм ряда Фурье. |
|
35 |
|
|
|
Комплексная форма рядов Фурье
В радиотехнике наиболее употребительной является комплексная форма ряда Фурье. Эта форма возникает из вещественной формы ряда Фурье, если использовать формулы Эйлера.
ei x cos(x) i sin(x),
cos(x) |
ei x e i x |
, |
(27) |
||
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
sin(x) |
ei x |
e i x |
|
|
|
|
2 i |
|
|
||
|
|
|
|
||
36
Возьмем вещественную форму ряда Фурье (20) и подставим в нее формулы (27).
|
a0 |
|
|
1 |
i |
2 k |
t |
|
i |
2 k |
t |
|
1 |
i |
2 k |
t |
|
i |
2 k |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f (t) |
|
|
|
|
|
T |
|
e |
|
T |
|
bk |
|
|
T |
|
e |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
ak |
2 |
e |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
|
|
|
||||
a0 |
|
|
ak i bk ei |
2 k |
|
|
|
ak i bk e i |
2 k |
|
1 |
T |
t |
1 |
T |
t |
|||||
2 |
k 1 |
2 |
|
|
|
k 1 |
2 |
|
|
|
(28)
Если ввести следующие обозначения:
c0 |
|
a0 |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
ck |
12 ak i bk , |
k 1, 2, , |
(29) |
|||
c k 1 |
ak i bk , |
k 1, 2, |
|
|||
|
2 |
|
|
37 |
||
|
|
|
|
|
|
|
то ряд Фурье (28) примет вид.
|
2 k |
|
|
f (t) ck ei |
T |
t |
(30) |
k
где коэффициенты ck комплексного ряда Фурье будут определяться формулой.
|
1 |
T / 2 |
i |
2 k |
t |
|
(31) |
ck |
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
f (t) e |
|
T |
|
|||
T T / 2
38
|
|
|
|
|
! Используя формулы (22) для коэффициентов a |
k |
, |
b |
|
|
|
|
k |
|
вещественного ряда Фурье, показать справедливость формулы |
||||
(31) для коэффициентов |
ck |
|
|
|
комплексного ряда Фурье. |
||||
! Найти коэффициенты комплексного ряда Фурье для периодической f(t) функции с периодом T = 1 , и заданной на периоде следующими соотношениями.
1, |
t [ 1/ 4, 1/ 4], |
|
f (t) |
0, |
t [ 1/ 4, 1/ 4] |
|
||
! Найти коэффициенты комплексного ряда Фурье для периодической f(t) функции с периодом T = 1 , и заданной на периоде следующим соотношением.
f (t) t, |
t [ 1/ 2, 1/ 2] |
39
Интегральное преобразование Фурье
Рассмотрим переход от ряда Фурье в комплексной форме (30, 31) к интегральному преобразованию Фурье с помощью предельного перехода, когда период стремиться к бесконечности T . Перепишем комплексный ряд Фурье, заменив функцию f(t) на функцию s(t) – так мы на первых лекция обозначали сигнал, а буквой f будем обозначать частоту.
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
s(t) ck ei |
|
T |
t |
|
||||
|
k |
|
|
|
|
|
(32) |
|
|
1 |
T / 2 |
|
i |
2 |
k |
t |
|
ck |
|
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
s(t) e |
|
|
|
T |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
T T / 2 |
40 |
|
Введем дискретную частоту fk
fk |
k |
, |
k Z |
(33) |
|
T |
|||||
|
|
|
|
Тогда расстояние между соседними частотами f будет равно
f fk 1 |
fk |
1 |
(34) |
|
T |
||||
|
|
|
Когда период T стремиться к бесконечности, величина f стремиться к нулю. Поэтому дискретная частота fk в пределе будет меняться непрерывным образом на всей числовой оси. Поэтому в пределе T мы заменим
дискретную частоту fk |
на непрерывную частоту f . |
|
fk f , |
if T |
(35) |
41
Кроме того, введем функцию S( fk ) от дискретной частоты по формуле
S( fk ) T ck |
(36) |
Подставляя соотношения (33, 34, 36) в формулы ряда Фурье в комплексной форме (32), получаем.
|
|
s(t) S( fk ) ei 2 fk t f |
(37) |
k |
T / 2
S( fk ) s(t) e i 2 fk t dt |
|
|
|
T / 2 |
42 |
|