На рисунке приведен график этой функции. h3(t)
23/2
1 t 0 0.5 
-23/2
! Построить графики следующих функций Хаара
h1 (t), h2 (t), h4 |
(t), h5 |
(t) |
21 |
|
|
|
Свойства системы Функций Хаара
1) Система функций Хаара {hk (t)}, k=0,1,2,…, ортонормированна на интервале t [0, 1]. Поэтому имеют место соотношения
1 |
1, |
k m, (18) |
|
|
|||
hk , hm hk (t) hm (t) dt |
0, |
k m |
|
0 |
|
||
2) Система функций Хаара полна в пространстве L2 [0,1(без] доказательства).
22
Тригонометрические ряды Фурье
Рассмотрим тригонометрическую систему функций.
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1, cos |
kt, |
sin |
|
(19) |
||||
|
T |
T |
kt |
|
|
|||
|
|
|
|
k 1 |
|
|||
Как хорошо известно, из курса специальных разделов математического анализа, такая система является полной на любом отрезке t [a, a+T] длины T.
Если функция f(t) имеет период T и является кусочно- гладкой функцией на периоде, то ее ряд Фурье сходится к f(t) в каждой ее точке непрерывности.
|
a0 |
|
|
2 kt |
|
2 kt |
|
f (t) |
2 |
ak cos |
T |
bk sin |
T |
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|||
(20)
23
В точках разрыва ряда Фурье сходящегося к среднему значению функции в этих точках.
f (t 0) f (t 0) |
|
a0 |
|
|
2 kt |
|
2 kt |
||
|
|
|
ak cos |
|
bk sin |
|
(21) |
||
2 |
2 |
T |
T |
||||||
|
k 1 |
|
|
|
|||||
Коэффициенты Фурье находятся по формулам:
|
|
2 |
|
T / 2 |
|
2 k |
|
|
|
|
ak |
|
|
|
f (t) cos |
|
|
t dt, |
k 0, 1, |
||
T |
T |
|
||||||||
|
|
|
|
|
(22) |
|||||
|
|
|
|
T / 2 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
T / 2 |
2 k |
|
|
|
||
bk |
|
|
|
f (t) sin |
|
t dt, |
k 1, 2, |
|||
T |
T |
|||||||||
|
T / 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
Свойства тригонометрических рядов Фурье
1) Если функция f(t) четная, то из интегралов (22) видно, что коэффициенты bk 0, и возникает разложение по косинусам
f ( t) f (t), |
|
2 k |
|
|
|||
|
a0 |
|
|
||||
f (t) |
|
ak cos |
|
t , |
|
||
2 |
T |
(23) |
|||||
|
k 1 |
|
|
||||
|
4 T / 2 |
2 k |
|
|
|||
ak |
|
0 |
f (t) cos |
|
t dt, |
k 0, 1, |
|
T |
T |
||||||
|
|
|
|
||||
25
2) Если функция f(t) нечетная, то из интегралов (22) видно, что в этом случае коэффициенты ak 0, и возникает разложение по синусам
f ( t) f (t), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 k |
|
|
||
f (t) bk sin |
T |
t , |
|
(24) |
|||
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
T / 2 |
|
2 k |
|
|
|
bk |
|
0 |
f (t) sin |
|
t dt, |
k 1, 2, |
|
T |
|
||||||
|
|
T |
|
|
|||
26
Для примера рассмотрим периодический сигнал с периодом T = 1 , график которого приведен ниже.
2 |
|
|
Periodical signal f(t), |
T = 1 c |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|||||||
|
|||||||||||
t (c) |
27 |
|
Функция f(t) описывающая этот сигнал является, во-первых, нечетной функцией, во-вторых, она имеет разрывы в точках t = n/2 , n Z. Поэтому ряд Фурье для этой функции будем вычислять по синусам (24). Коэффициенты разложения в этом случае равны
2 |
(1 cos( k)), |
k 1, 2, |
|
|
bk k |
(25) |
|||
|
|
|
|
|
Рассмотрим, как описывают частные суммы ряда Фурье выбранный сигнал.
N |
2 k |
|
|
|
sN (t) bk sin |
t , |
N 1, 2, |
(26) |
|
|
T |
|
|
|
k 1 |
|
|
||
28
partial sum of Fourier series, N = 3
2 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
|||||
|
|
|
t (c) |
|
|
29
partial sum of Fourier series, N = 5
2 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
|||||
|
|
|
t (c) |
|
|
30
partial sum of Fourier series, N = 10
2 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
|||||
|
|
|
t (c) |
|
|
31
partial sum of Fourier series, N = 15
2 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
|||||
|
|
|
t (c) |
|
|
32