Таким образом, система функций Радемахера не может служить базисом в пространстве L [0,1] , т.е. эта система функций не может использоваться2для разложения в ряд Фурье.
! Показать , что для функции (11) выполняются следующие соотношения ортогональности
,r2 0, |
,r3 0 |
11
Система функций Уолша
Систему функций Уолша {wn (t)} , n=0,1,2,…, определим следующим образом. Представим целое число n 0 в виде двоичного разложения:
|
|
|
l (n) |
|
|
|
|
|
n nk 2k , |
nk [0, 1] |
(12) |
||
|
|
|
k 0 |
|
|
|
Например, для числа n = 19 это будет означать следующее |
||||||
n 19 |
d |
10011 1 24 |
0 23 0 22 1 21 |
1 20 , |
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
n0 1, |
|
|
|
|
|
|
n 1, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
l (n) l (19) 4 |
|
|
|
n2 |
|
|
||
|
|
n |
0, |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n4 |
1 |
|
|
12 |
Тогда функции системы Уолша выражаются при помощи функций Радемахера как
l (n)
wn (t) (rk (t)) |
nk |
(13) |
|
||
|
|
|
k 0 |
|
|
Например, для числа n = 19 получаем следующую функцию Уолша.
4
w19 (t) (rk (t))nk (r0 (t))n0 (r1 (t))n1 (r2 (t))n2 (r3 (t))n3 (r4 (t))n4
k 0
(r0 (t))1 (r1 (t))1 (r2 (t))0 (r3 (t))0 (r4 (t))1
r0 (t) r1 (t) r4 (t)
13
Таким образом, функция Уолша wn (t) определяется как произведение функций Радемахера с номерами, которые соответствуют единичным индексам в двоичном разложении числа n.
В таблице показан способ построения первых пяти функций Уолша.
n |
n2 |
n1 |
n0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
wn(t) w0(t) = 1 w1(t) = r0(t) w2(t) = r1(t) w3(t) = r0(t) r1(t) w4(t) = r2(t)
! Найти следующие пять функций Уолша.
14
На рисунках приведены графики двух функций Уолша |
w3 (t), w5 (t) |
||
w3(t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
t |
-1 |
|
|
|
|
|
|
15 |
w5(t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
t |
-1 |
|
|
|
! Построить графики следующих функций Уолша |
w6 (t), w7 (t) . |
||
|
|
|
16 |
Свойства системы Функций Уолша
1) Система функций Уолша {wk (t)}, k=0,1,2,…, ортонормированна на отрезке t [0, 1]. Поэтому имеют место соотношения
1 |
1, |
k m, |
(14) |
||
|
|||||
wk , wm wk (t) wm (t) dt |
0, |
k m |
|||
|
|||||
0 |
|
|
|||
2) Система функций Уолша полна в пространстве L2 [0,1] (без доказательства).
17
Система функций Хаара
Систему функций Хаара {hn (t)}, n=0,1,2,…, определим на интервале t [0, 1) следующим образом. Положим h0 (t) 1 . Номер n следующих функций Хаара hn (t) представим в виде
n 2k m, |
k 0, |
0 m 2k 1 (15) |
Формула (15) однозначно определяет числа k , m по заданному номеру n . Например,
18
n 1 |
|
k 0, |
m 0, |
n 2 |
|
k 1, |
m 0, |
n 3 |
|
k 1, |
m 1, |
|
|
|
|
n 15 |
|
k 3, |
m 7 |
|
|
|
|
Далее введем следующие интервалы.
n |
m |
|
m 1 |
|
m Z |
|||||
m |
|
|
|
, |
|
|
, |
n 0, |
||
2 |
n |
2 |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
(16)
19
Тогда функции Хаара будут определяться следующими соотношениями
|
2k / 2 , |
t 2km1, |
|
(17) |
|
2k / 2 , |
t 2km1 1, |
||
hn (t) |
|
|||
|
0, |
k 1 |
k 1 |
, |
|
t 2m , |
t 2m 1 |
||
Например, функция h3 (t) задается соотношениями
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
, |
t |
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
h3 |
(t) |
|
2 |
|
|
, |
|
t |
|
|
, 1 , |
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
t 0, |
|
2 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|