Лекция 4
римеры ортогональных систем в пространствеL2
Линейным пространством L2 [a,b]называется пространство функций, кусочно-непрерывных на отрезке t [a, b]. В этом пространстве скалярное произведение и норма определяются следующими формулами
b |
|
|
b |
2 |
|
|
|
f , g f (t)g(t)dt, |
|
f |
|
f |
(t)dt |
(1) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
Пространство L2 [a,b] является гильбертовым пространством. Это означает, что в этом пространстве
существуют полные ортогональные системы функций
{ k (t)}, k=1,2,…, .
1
Каждой функции f(t) из пространства L2 [a,b]можно поставить в соответствие ряд Фурье.
|
|
k k (t) |
(2) |
|
|
k 1 |
|
где коэффициенты Фурье k определяются формулами
k |
x, k |
(3) |
|
k , k |
|
|
|
2
Когда говорят, что функция f(t) равна ряду Фурье (2)
|
|
f (t) k k (t) |
(4) |
|
|
k 1 |
|
то имеют в виду, что существует следующий предел
lim |
|
f (t) |
n |
|
|
|
(t) |
|
0, |
t [a, b] (5) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k |
|
|||||
n |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3
Система функций Радемахера
В качестве ортогональной системы функций можно взять систему функций Радемахера. Система функций Радемахера {rk (t)}, k = 0,1,2,…, является системой кусочно-постоянных функций, и определяется следующим образом. Функция r0 (t) на интервале t [0, 1) задается следующим образом.
|
1, |
t [0; 1 |
/ 2) |
|
r0 (t) |
|
|
|
(6) |
1, |
t [1/ 2; |
1) |
|
|
4
Затем функция r0 (t) периодически продолжается на всю |
|||
числовую ость с периодом T=1 . На рисунке показан график |
|||
этой функции. |
|
|
|
|
r0(t) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
5 |
Следующая функция Радемахера r1 (t) получается из функции |
||||
r0 (t) |
простым преобразованием |
|
|
|
|
r1 (t) |
r0 (2 t) |
(7) |
|
|
|
|||
На рисунке показан график этой функции |
|
|
||
|
r1(t) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
0.5 |
1 |
t |
|
|
|||
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Следующая функция Радемахера |
r2 (t) |
получается из |
r0 (t) |
||
преобразованием |
|
|
|
|
|
r2 (t) |
r0 (4 t) |
(8) |
|
||
|
|
||||
r2(t) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0.5 |
|
1 |
|
t |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Как видно график функции r2 (t)получен из графика функции r0 (t) сжатием последнего в четыре раза вдоль оси t . Отсюда получаем общее правило – функция Радемахера k-ого порядка получается из функции Радемахера нулевого порядка с помощью преобразования
rk (t) r0 (2 |
k |
t) |
(9) |
|
|||
|
|
|
а график функция Радемахера k-ого порядка получается из графика функции Радемахера нулевого порядка с помощью сжатия последнего в 2k раз.
8
Свойства системы Функций Радемахера
1) Система функций Радемахера {rk (t)} , k=0,1,2,…, ортонормированна на отрезке t [0, 1] . Другими словами, все функции Радемахера ортогональны между собой, а норма
каждой из них равна единице
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
rk ,rm rk (t) rm (t) d t 0, |
k m, |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
(10) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
rk |
|
|
|
2 rk2 (t) d t 1, |
k 0,1, 2, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
! Показать на частном примере k = 0, m = 1 выполнение |
||||||||
соотношений (10) r0 ,r1 0, |
r0 1, |
r1 1 |
||||||
9
2) Система функций Радемахера не является полной. Оказывается можно найти элемент (t) пространства L2 [0,1], который не совпадает ни с одной функцией Радемахера, и в тоже время ортогонален любой из функций Радемахера. Это означает, что для системы функций Радемахера не выполняется
равенство Парсеваля – Стеклова . Откуда по теореме 9
(лекция 3) получаем утверждение - система функций Радемахера не является полной в пространстве L2 [0,1] . Можно показать, что в качестве элемента (t) подойдет следующая функция
(t) r0 (t) r1 (t)
(11)
10