Энергетические характеристики упругой волны
Полная механическая энергия упругой волны равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии:
.
(29)
Потенциальная энергия гармонической упругой плоской волны, распространяющейся вдоль оси 0x, равна
,
(30)
где – плотность среды (воздуха), – скорость волны, V – объём пространства, в котором распространяется волна, производная /x характеризует величину относительной деформации слоя среды. Выразим эту производную, продифференцировав уравнение волны (18**) по переменной x:
и учтём формулу (25) для волнового числа
.
Полученное выражение возведём в квадрат и подставим в формулу (30):
,
или
.
(30*)
Максимальное значение (амплитуда) потенциальной энергии волны равно
.
(31)
Кинетическая энергия упругой волны равна
,
(32)
где производная / t характеризует величину скорости смещения частиц среды в деформированном слое. Выразим эту производную, продифференцировав уравнение волны (18**) по переменной t:
,
или
.
Полученное выражение возведём в квадрат и подставим в формулу (32):
(32*)
Максимальное значение (амплитуда) кинетической энергии волны такое же, как потенциальной энергии, и равно
.
(33)
Подставим выражения (30*) и (32*) в формулу (29):
.
(29*)
Видно, что полная механическая энергия гармонической упругой волны периодически меняется в пространстве с течением времени, т. е. зависит от координаты точки пространства, отсчитываемой от источника (удалённости частицы среды), и от времени.
Амплитуда (максимальное значение) полной механической энергии волны равна амплитуде потенциальной или кинетической энергии и при отсутствии поглощения является величиной постоянной:
.
(34)
Следующей энергетической характеристикой упругой волны служит объёмная плотность энергии. По определению, это – скалярная физическая величина, равная отношению энергии волны, распространяющейся в некотором объёме пространства (вещества), к этому объёму:
.
(35)
Единица измерения – джоуль в кубическом метре:
.
Физический смысл состоит в том, что объёмная плотность энергии численно равна энергии волны в единице объёма:
.
Подставив выражение (26*) в равенство (32), получим:
,
(35*)
Следовательно, плотность энергии также периодически меняется от точки к точке и с течением времени. Однако среднее значение плотности энергии волны оказывается величиной постоянной и равной:
,
.
(36)
Для выяснения количества энергии, которое волна переносит во времени, служит поток энергии. Поток энергии – это скалярная физическая величина, равная отношению энергии, переносимой волной в течение некоторого интервала времени, к этому интервалу:
.
(37)
Единица измерения – ватт:
.
Физический смысл: поток энергии численно равен энергии, которая переносится волной за единицу времени:
.
С учётом формулы (32) поток можно записать в виде:
,
где – скорость волны, S – поперечная площадка, через которую переносится энергия (т. е. расположена перпендикулярно лучу). Далее, подставив выражение (35*), получим
,
(37*)
Из полученного выражения видно, что поток энергии волны является переменной величиной в пространстве и во времени.
Чтобы учесть направление распространения энергии волны, существует характеристика, называемая плотностью потока энергии. Плотность потока энергии – это векторная физическая величина, модуль которой равен отношению потока энергии к площади поперечной поверхности, через которую она переносится, к значению этой площади, а направление совпадает с направлением скорости волны (т. е. вдоль луча):
.
(38)
Единица измерения – ватт на квадратный метр:
.
Если подставить выражение (37) в формулу (38), то модуль плотности потока энергии оказывается равным
.
Отсюда следует физический смысл: плотность потока энергии численно равна энергии, которая переносится волной за единицу времени через поперечную поверхность единичной площади.
.
Выражение (38) можно преобразовать следующим образом:
,
или
.
(39)
Формула
(39) впервые была получена русским физиком
Умовым, поэтому вектор
называют такжевектором
Умова.
Вектор Умова сонаправлен со скоростью
волны, т. е энергия переносится вдоль
луча, а модуль равен произведению
объёмной плотности энергии на скорость
волны:
.
(39*)
Учитывая уравнение (36*), видно, что плотность потока энергии является периодически меняющейся величиной:
.
(39**)
Интерес представляет среднее значение плотности потока энергии. Оно оказывается постоянным в любой точке пространства и в любой момент времени:
.
Скалярную физическую величину, равную среднему значению модуля плотности потока энергии, называют интенсивностью волны:
.
(40)
Следовательно,
.
(41)
Единица измерения интенсивности – ватт на квадратный метр:
.
Итак, интенсивность упругой волны зависит от плотности среды, скорости колебаний источника волны, ещё больше зависит от амплитуды колебаний частиц среды и частоты колебаний источника.