16

§ 2. Упругие волны

1. Механизм формирования упругой волны

От источника колебаний звук распространяется в воздухе (или в другой среде) в виде упругой волны. Упругими волнами называют распространение в пространстве с течением времени колебаний частиц упругой среды. Наличие упругой среды служит необходимым условием распространения упругих волн. Под упругой средой понимают любое вещество (газ, жидкость, твёрдое тело), в котором между частицами действуют силы взаимодействия, препятствующие его деформации

Источник волн, совершающий возвратно-поступательные движения вызывает в воздухе попеременную деформацию слоёв воздуха. Мысленно разделим воздух, который окружает источник звука, на тонкие слои (рис. 2).

При смещении источника влево первый слева слой воздуха сжимается, а первый справа слой – разряжается (рис. 3).

Движения молекул воздуха в слое, ближайшем к источнику, передаются молекулам следующего слоя благодаря столкновению молекул этих слоёв. Поэтому через некоторое время первые от источника слои восстанавливаются, а деформируются вторые слои (рис. 4), затем третьи слои (рис. 5), четвёртые и так далее.

Если источник звука смещается вправо, то аналогичным образом последовательно сжимаются слои справа, а разряжаются – слева (рис. 6).

Когда источник волны колеблется, то в периодически деформируемых слоях воздуха также периодически происходит увеличение или уменьшение плотности слоёв. Если мы в каком-то месте поставим прибор, способный реагировать на изменение плотности воздуха, запишем его показания в течение некоторого времени и составим график зависимости плотности от времени, то получим кривую, близкую к синусоиде (рис. 7).

Плотность пропорциональна давлению. Поэтому одновременно с изменением плотности слоёв периодически меняется давление внутри них. График зависимости давления от времени p(t) аналогичен графику зависимости плотности от времени (t).

2. Уравнение упругой волны

Обозначим направление, вдоль которого происходит деформация, изменение плотности и давления слоёв воздуха, осью 0x (рис.8).

Вдоль этого направления вправо и влево от источника происходит перенос энергии колебаний источника. Поэтому это – направление упругой волны. Направление распространения волны, вдоль которого переносится энергия, называют лучом.

Деформация слоёв в виде волны распространяется вдоль луча со скоростью , которую называют скоростью волны. Вектор скорость сонаправлен лучу.

Частицы слоёв в воздухе, в газах вообще и в жидкостях колеблются вдоль луча и скорости волны, поскольку силы взаимодействия между ними невелики, и они смещаются в направлении колебаний источника волны. Это означает, что упругая волна в газах и жидкостях всегда продольная. В твёрдых телах могут быть и продольные, и поперечные упругие волны. В поперечной волне частицы смещаются перпендикулярно лучу из-за сил взаимодействия, обусловленных строением кристаллической решётки.

Обозначим x – координату частицы среды, т. е. удаление частицы от источника,  ("кси") – смещение этой частицы в процессе колебания. Это смещение зависит от положения (x) частицы по отношению к источнику волны и от времени. Уравнение волны, распространяющейся вдоль оси 0x имеет вид:

, (18)

где _max – амплитуда колебаний частицы среды, т. е. максимальное смещение частицы, а аргумент синуса – это фаза волны:

. (19)

Величина  – это частота колебаний частиц. Фаза определяется временем , равным

(20)

Оно необходимо для того, чтобы деформация слоёв вблизи источника распространилась вдоль луча (оси 0x) со скоростью  до слоя, где находится рассматриваемая частица. Знак "минус" соответствует задерживанию волны на время  вдоль положительного направления оси 0x, а знак "плюс" - в противоположном направлении, т. е. вдоль отрицательного направления оси 0x.

Все частицы, равноудалённые от источника, находящиеся в деформированном слое воздуха (до которого распространилась волна) имеют одинаковую фазу и одинаковое смещение. Эти частицы образуют поверхность одинаковой фазы:

.

Поверхность одинаковой фазы колебаний, наиболее удалённую в данный момент времени от источника называют фронтом волны.

Если фронт имеет форму плоскости, то волна называется плоской. Такая волна возбуждается протяжёнными источниками. Лучи параллельны друг другу и перпендикулярны фронту. Уравнение (18) – это уравнение плоской волны.

Если фронт имеет форму сферы, то волна называется сферической. Она создаётся точечным источником. Лучи в этом случает радиальные, но также перпендикуярны фронту (радиус перпендикулярен окружности). В этом случае в уравнении (18) вместо координаты x следует писать радиус-вектор .