Обработка изображений / Лекции по обработке изображений Ч 1

Подвергнув обе стороны равенства (6.3) преобразованию Фурье и приняв во внимание теорему о свертке, получим

где H u – фурье-образ функции x . Из (6.6) видно, что преобразование Гильберта можно выполнить, если в области пространственных частот произвести умножение фурье-образа исходной функции на функцию G0 u , а

затем выполнить обратное преобразование Фурье. Операцию умножения на функцию G0 u в оптике выполняет фильтр пространственных частот в виде

пластинки со ступенькой, создающей сдвиг фазы на 1800 . При этом линия ступеньки должна проходить через центр плоскости пространственных частот.

6.2. Теневые приборы

Теневым прибором в оптике называют систему, которая позволяет наблюдать и количественно исследовать прозрачные, либо практически

где x – функция, описывающая фазовую модуляцию объектом световой

волны. Обычные оптические изображающие системы не позволяют заметить малые фазовые неоднородности, если изображение объекта сфокусировано. Поэтому теневые приборы образуют самостоятельный класс оптических приборов, которые разделяются на фазово-контрастные и теневые. К фазовоконтрастным относится метод Цернике, к теневым – метод Фуко-Теплера, система с фильтром Гильберта.

Принципиальное различие между фазово-контрастными и теневыми методами визуализации оптических неоднородностей несколько сгладилось после того, как были построены теневые приборы с фазовым ножом. Различие между этими методами можно свести к структуре используемых фильтров пространственных частот. Это позволяет объединить оба метода в единый класс теневых приборов, а также включить в него те приборы, принцип действия которых представляет собой комбинацию фазовоконтрастного и теневого методов визуализации прозрачных неоднородностей. Рассмотрим принципы действия основных типов теневых приборов.

51

6.2.1. Фильтр Цернике. Ниже приведена схема оптической системы, используемой для визуализации фазовых неоднородностей методом Цернике.

2

z

Рис. 6.1. Визуализация фазовых неоднородностей с помощью метода Цернике

Оптический фильтр пространственных частот Цернике имеет вид небольшой пластинки-диска, толщина d которой равна

Располагают ее в центре плоскости пространственных частот. Пластинка

где – радиус фазовой пластинки в единицах пространственных частот. Коэффициент пропускания объекта, создающего малые сдвиги по фазе,

Идеальная фазовая пластинка Цернике воздействует только на нулевую пространственную частоту (u)

Из (6.15) следует, что контраст отфильтрованного изображения по интенсивности линейно связан с фазовым контрастом x . Теневые

52

приборы с ножом Фуко или фазовым ножом этим свойством не обладают.

Свойство линейности по фазе не нарушается, если ma x 1.

В реальных оптических системах фильтрация осложняется из-за дифракции света. В области нулевой пространственной частоты возникает дифракционная картина в виде пятна конечных размеров. Чтобы полностью захватить дифракционную картину в области нулевой пространственной частоты, диаметр диска фильтра Цернике должен быть больше диаметра центрального пятна дифракции. Одновременно он должен быть меньше той области, в которой сосредоточен спектр пространственных частот исследуемого объекта. Поэтому изображения без искажения получаются только для тех объектов, которые характеризуются высокими пространственными частотами и малой долей низких пространственных частот. Если объект содержит интенсивные низкие пространственные частоты, то лучи света при дифракции отклоняются на малые углы, попадают на диск одновременно с неотклоненным пучком и не получают требуемого сдвига по фазе на 90 относительно неотклоненных лучей света. Так как объекты, наблюдаемые в фазовый микроскоп, всегда содержат низкие пространственные частоты, то в картине отфильтрованного изображения наблюдаются «гало» вокруг объекта, а также другие ложные структуры, не существующие в реальном объекте.

6.2.2. Нож Фуко. Схема визуализации фазовых неоднородностей с помощью ножа Фуко показана на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Визуализация фазовых неоднородностей с помощью ножа Фуко:

S – точечный источник монохроматического света ; L1 и L2 – линзы прямого и обратного преобразования Фурье; O – объект; G – нож Фуко; I – экран наблюдения

53

Амплитудный коэффициент пропускания ножа Фуко определяется функцией Хевисайда. Выразим функцию Хевисайда через знаковую функцию

Распределение интенсивности изображения, отфильтрованного при помощи ножа Фуко, имеет вид

икартина визуализации фаз имеет невысокий контраст.

6.2.3.Фазовый нож. Фазовый нож располагается в плоскости пространственных частот так, что кромка ступеньки, создающей сдвиг фазы

на 180 проходит через точку ux uy 0 и ориентирована вертикально

(рис. 6.3). Амплитудный коэффициент пропускания фазового ножа определяется выражением

Амплитуда в плоскости изображения описывается гильберт-образом функции t x . Действительно,

а распределение интенсивности в отфильтрованном изображении, полученном при помощи фазового ножа, равно квадрату гильберт-образа

54

функции f x :

O

S

G

I

L1

I

Рис. 6.3. Визуализация фазовых неоднородностей при помощи фазового ножа:

S – точечный источник монохроматического света; L1 и L2 – линзы прямого и обратного преобразования Фурье; O – объект; G – нож Фуко в виде ступеньки, создающий скачок по фазе на 180 ; I – экран наблюдения

В отличие от ножа Фуко здесь нет постоянного фона засветки, а, следовательно, картина визуализации фаз имеет более высокий контраст.

6.2.4. Визуализация фаз при дефокусировке. При дефокусировке фазовый контраст возникает благодаря тому, что обратное преобразование Фурье в этом случае выполняется не полностью (рис. 6.4). Чтобы определить свойства этого метода визуализации фазовых объектов, найдем распределение комплексных амплитуд t1 x света в плоскости изображения I,

которая находится за линзой L1 на расстоянии l F .

55

где – максимальная пространственная частота, содержащаяся в спектре функции t x , то

Из свойств преобразования Фурье известно, что

Выражение (637) показывает, что при небольшой дефокусировке происходит визуализация второй производной фазовой функции x . Величина и знак

контраста определяются коэффициентом b .

6.2.5. Метод дефокусировки для «слабофазовых объектов». Для

Распределение комплексных амплитуд в частотной плоскости элементарной оптической системы

оптической системы

56

где W u – функция аберраций оптической системы. Из (6.41) следует, что

умножению на функцию exp i u2 . На рис. 6.5 показан график функции sin( u2 ) (кривая 1).

Можно подобрать для заданного (а следовательно, и для величины дефокусировки и наибольшего визуализируемого периода l0 ) такие

значения и , которые обеспечивают значения W u u 2 u 4 u6 , близкое к 2 с заданной величиной максимального отклонения.

С высоким контрастом и без искажений в этом случае визуализируются неоднородности, соответствующие пространственным частотам u , для

которых справедливо соотношение u 2 2 n , где n – целые нечетные числа, т.е. визуализируются неоднородности с пространственным периодом

Шерцера.

57

6.3.Формирование изображений

вэлектронном микроскопе

Подробно процесс формирования изображений в электронной микроскопии рассмотрен в работах Каули и Спенса. Мы же остановимся на наиболее важных аспектах этого процесса. В электронном микроскопе можно наблюдать и регистрировать как изображение, так и дифракционную картину, что важно для изучения многих материалов. Это наводит нас на мысль о методе физической оптики как наиболее полезном подходе к образованию изображения. Мы будем также использовать малоугловое приближение потому, что оно отличается простотой и ясностью и применимо почти для всех условий эксперимента.

Пусть объект имеет функцию прохождения t x, y . Поскольку

падающий пучок можно аппроксимировать плоской волной с единичной амплитудой, то волна, покидающая объект, будет иметь амплитуду t x, y .

Тогда в задней фокальной плоскости объектива микроскопа распределение комплексной амплитуды будет пропорционально фурье-образу T u1 ,u2

функции прохождения. Здесь, как принято в большинстве работ по электронной микроскопии, u1 xf , u2 yf – пространственные частоты,

измеряемые в периодах на единицу длины; f – фокусное расстояние

множителем M и, относя изображение обратно к плоскости предмета, предполагают, что амплитуда изображения, даваемая идеальной линзой,

будет равна t x, y , а интенсивность I x, y t x, y 2 .

Влияние ограничений, накладываемых апертурой и аберрациями линзы, представляется изменениями амплитуды и фазы волны в задней фокальной плоскости; эти изменения можно описать как результат

объективной линзы. Таким образом, вводя эти важные ограничения процесса

58

образования изображения, получаем распределение амплитуд и фаз

Распределение комплексной амплитуды электронной волны в плоскости изображения имеет вид

Это приближение спроектированной зарядовой плотности. Оно имеет значительную область применения, но непригодно для высоких пространственных частот, когда член сферической аберрации преобладает над фазовым множителем.

В случае так называемых слабофазовых объектов, для которыхx, y 1, распределение интенсивности в плоскости наблюдения в

области оптимальных дефокусировок соответствует идеальному контрасту Цернике

где n=1, 2, 3, … Дефокусировка при n = 1 называется дефокусировкой Шерцера. При шерцеровской дефокусировке размер апертурной диафрагмы находится из равенства

Простой метод учета в передаточной функции микроскопа хроматической аберрации состоит в умножении этой функции на функцию затухания

59

учитывающую действие апертурной диафрагмы, дефокусировки и сферической аберрации, хроматической аберрации, можно записать в виде

При моделировании работы электронного микроскопа пользователь программы задает: ускоряющее напряжение микроскопа, либо длину электронной волны, коэффициенты сферической и хроматической аберрации объективной линзы, значение дефокусировки, размер апертурной диафрагмы). На экране монитора обычно отображается действительная и мнимая части частотной характеристики, по виду которой пользователь может произвести корректировку параметров оптической системы наблюдения. Для расчета результирующего изображения фурье-образ функции пропускания образца умножается на частотную характеристику микроскопа, а затем от полученного таким образом распределения комплексных амплитуд осуществляется обратное преобразование. Квадрат модуля этого преобразования дает распределение яркости в смоделированном изображении.

Список литературы

При составлении учебного пособия использовались следующие литературные источники:

1.Грудин Б.Н., Плотников В.С. Обработка и моделирование микроскопических изображений. Владивосток : Дальнаука, 2010. 349 с.

2.Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. M. : Мир, 1970. 362 с.

3.Зверев В.А. Радиооптика. M. : Сов. радио,1975. 302 c.

60