Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Обработка изображений / Лекции по обработке изображений Ч 1

.pdf

Скачиваний:

161

Добавлен:

25.04.2015

Размер:

1.73 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

вариантов оптических схем для записи таких голограмм, называемых фурьеголограммами, приводится на рис. 5.4. Фурье-голограммы и являются фильтрами Вандер-Люгта.

Опорная плоская волна, падающая под углом к оси z , в плоскости
регистрации голограммы описывается выражением
aon exp[i ky y ] aon exp i exp ik sin y
			2				,	(5.22)
a	exp i exp	i	2	f sin		a exp i exp i2 b
a	exp i exp	i		f sin		a exp i exp i2 b
on			f		y	on
			f

aon – амплитуда; –

фаза, не зависящая от координат x и y . Величины b и

соответственно равны

f .

b f sin . ; y

(5.23)

Предметная волна в задней фокальной плоскости линзы имеет

комплексную амплитуду, пропорциональную фурье-образу

H x f , y f

транспаранта:

exp i2kf

a0 exp i2kf

A x, y

H , .

(5.24)

i f

Комплексная амплитуда результирующего светового поля в плоскости

регистрации будет равна

A x, y aon exp i exp i2 b

aon exp[i 2kf

(5.25)

] H , f

Интенсивность

I A A

этой

плоскости

имеет

следующее

распределение:

H ,

I aon

aona0 exp i

2kf

exp i2 b

(5.26)

a		a	exp	i	2kf		exp i2 b	H ,
	on
		0				2		f

Пусть в качестве фотодетектора выбрана фотопластинка. В условиях линейной записи амплитудное пропускание обработанной фотопластинки можно выразить в виде

H ,

2 c

H ,

exp i 2 b

2 f 2

(5.27)

H ,

exp i 2 b

где 1 2kf / 2.

В (5.27)

сохранены

множители 1/ f и

1 2 f 2 ,

поскольку размерность фурье-образа соответствует квадрату длины. Запись фильтра Вандер-Люгта возможна в том случае, когда известен импульсный отклик h(x, y) передаточной функции H ( , ) требуемого фильтра. При этом

импульсный отклик должен быть представлен на физическом носителе в

виде транспаранта. Из выражения (5.27) следует, что требуемая передаточная функция H ( , ) пропорциональна одному из слагаемых суммарной функции

пропускания H , которая имеет сложный вид и содержит «лишние» составляющие. Однако, как будет показано ниже, функцию H ( , ) ,

входящую в третий член выражения (5.27), можно выделить и использовать для фильтрации входных сигналов.

Если функция пропускания транспаранта T пропорциональна - функции Дирака, то фильтром Вандер-Люгта будет гармоническая решетка. Физически -функция соответствует очень малому отверстию в непрозрачном экране. Дифракция на этом отверстии приводит к образованию расходящейся сферической волны, которая после линзы превращается в плоскую.

Рассмотрим структуру выходного изображения при использовании фильтра Вандер-Люгта. Пусть фильтр с функцией пропускания H , определяемой формулой (5.27), помещен в плоскость фильтрации когерентного оптического процессора, схема которого приведена на рис. 5.1. Во входной плоскости процессора установлен транспарант с функцией пропускания t(x0 , y0 ) . В выходной плоскости процессора, т.е. в плоскости

x2 , y2 , распределение комплексных амплитуд пропорционально свертке функции пропускания t(x2 , y2 ) и импульсного отклика фильтра. Обозначим импульсный отклик через h (x2 , y2 ) . Согласно формуле (5.9), безразмерный

импульсный отклик, соответствующий фильтру Вандер-Люгта, описывается выражением


h x2 , y2 f H , exp i2 x2 y2 d d .	(5.28)

В формуле (5.28) опущены дополнительные фазовые множители, не
зависящие от x2 и y2 . Легко видеть, что формула (5.28)	фактически

описывает обратное преобразование Фурье, которое может быть реализовано оптическим путем. Для этого транспарант с функцией пропускания H ( , ) необходимо разместить в передней фокальной плоскости линзы и осветить его плоской волной, распространяющейся по оси z . Из рис. 5.1 видим, что такая плоская волна образуется после первой линзы, если в качестве источника используется сферическая волна, испускаемая из точки, находящейся на оси z и отстоящей от первой линзы на расстоянии f . Таким образом, искомый импульсный отклик h – это результат восстановления

изображения с фурье-голограммы в условиях, когда плоская волна единичной амплитуды (aB 1) направлена нормально к поверхности

голограммы. При этом направление восстанавливающей волны не совпадает с направлением опорной волны, использованной при записи фурьеголограммы.

С целью нахождения импульсного отклика h подставим выражение (5.27) в формулу (5.28). В результате получаем


h x2 , y2 c0 f						exp i2 x2 y2 d d

	c	H ,			2	exp i2 x2 y2 d d



	f
	1
						.	(5.29)
						.	(5.29)
						, exp i2 b exp i2 x2 y2 d d
c2 exp i 1			H			, exp i2 b exp i2 x2 y2 d d


c2 exp i 1				H , exp i2 b exp i2 x2 y2 d d

Выражение (5.29) можно переписать в виде
			h (x2 , y2 ) h 1 h 2 h 3 h 4 ,				(5.30)

где h n – соответствующие слагаемые, входящие в выражение (5.29).

Интеграл, которому пропорциональна величина h 1 , является	-функцией
Дирака. Поэтому
h 1 c0 f (x2 , y2 ) .	(5.31)

Интеграл во втором слагаемом дает автокорреляции функции h(x2 , y2 ) в плоскости x2 , y2 , т.е.

h	c	1	h x		, y		h x		, y		.	(5.32)
		f
2	1			2		2		2		2
Функция h 2 , как и	h 1 ,	является					безразмерной. Используя					теорему

смещения, можно показать, что третье слагаемое h 3						пропорционально
функции h(x2 , y2 ) , сдвинутой по оси y2			на расстояние ( b) , т.е.
h 3 c2 exp(i )h(x2 , y2 b) .							(5.33)
Что касается четвертого слагаемого h 4 , то его можно представить в виде
h 4 c2 exp i 1							(5.34)
H , exp i2 b exp i2 x2 y2 d d .							(5.34)


Если теперь перейти от координат x	2	и	y	2	к координатам	x и	y , то интеграл
	2			2		2	2

в скобках будет совпадать с интегралом, входящим в третье слагаемое. Отсюда следует, что

h 4 c2 exp(i )h

(x2 , y2 b) .

(5.35)

Подставляя (3.31), (3.32), (3.33) и (3.34) в (3.30), получаем

, y

f x

, y

h x

, y

h x

, y

(5.36)

c2 exp i h x2 , y2 b c2

exp i 1 h

, y2

Если во входную плоскость процессора пространственночастотной фильтрации поместить транспарант с функцией пропускания t(x0 , y0 ) и

осветить его плоской волной с амплитудой a, то получаемая в выходной

плоскости процессора свертка t(x2 , y2 ) и h (x2 , y2 ) также будет представлять

собой сумму четырех изображений. Используя формулы (5.11) и (5.36),

получаем образующееся распределение комплексных амплитуд W(x2 , y2 ) :

W x2 , y2 a c0 t x2 , y2 x2 , y2

t x

2 , y2 h x2 , y2 h x2 , y2

2 f 2

(5.37)

exp i

t x , y

h x , y

exp i

1 t x2 , y2

x2 , y2

Здесь опущен постоянный фазовый множитель. Первое слагаемое описывает исходное изображение, поскольку свертка функции с -функцией равна самой функции. Изображение t(x2 , y2 ) образуется в центре выходной

плоскости процессора. Изображение, описываемое вторым слагаемым, также образуется в центральной части выходной плоскости и накладывается на изображение t(x2 , y2 ) . Если размер t(x2 , y2 ) задан в виде Lx Ly , то размер

центрального сложного изображения составит (2lx +Lx )(2ly +Ly ).

lx+Lx

ly+Ly

2ly+Ly

2lx+Lx

ly+Ly y2

lx+Lx

Рис. 5.5. Схематическое представление структуры выходного изображения при использовании фильтра Вандер-Люгта

Изображения, описываемые двумя последними слагаемыми, образуются на расстоянии b от оси z . Изображение, соответствующее третьему слагаемому, пропорционально свертке входного сигнала с функцией h(x, y) .

Изображение, описываемое четвертым слагаемым, пропорционально следующему интегральному преобразованию

, y2 b t x2 , y2

, y2

b t x2 , y2

(5.38)

h x2

, y2

b t x2

, y2

которое является взаимно корреляционной функцией входного сигнала и функции h(x, y) .Структура выходного светового поля иллюстрируется на

рис. 5.5. Изображения, пропорциональные свертке и корреляции, могут быть пространственно отделены от двух первых при определенном выборе угла q между опорным пучком и осью z при записи фильтра. Из рис. 5.5 видно, что условие выбора угла может быть представлено следующим образом:

	2ly Ly		ly	Ly	3
b	f sin					ly	Ly	,
		2		2	2

отсюда

	1	3
arcsin			l y	Ly .

f		2

(5.39)

(5.40)

Итак, при правильном выборе угла свертка и корреляция пространственно разделяются.

5.4. Метод Ломана в записи цифровых фурье-голограмм

Оригинальный метод кодирования волнового фронта, несущего фурьеобраз голографируемого объекта, был разработан А. Ломаном и его сотрудниками. В настоящем параграфе будет дано краткое описание процесса синтеза фурье-голограммы двумерного объекта с использованием метода кодирования.

Принцип записи голограммы по методу Ломана состоит в том, что отсчет фурье-образа объекта в узле (n , m ) отображается выходным

устройством ЦВМ в виде прозрачной прямоугольной апертуры на непрозрачном фоне, причем ширина апертуры (c ) постоянна для данной

голограммы, высота ее (Wnm ) с некоторым приближением прямо пропорциональна значению амплитуды отсчета Anm , а ее смещение в

направлении одной из координат относительно точки отсчета пропорционально фазе отсчета nm . Каждая такая апертура должна

располагаться в пределах квадрата со стороной и геометрическим центром в узле сеточной области, как показано на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Конечный элемент	Рис. 5.7. Фрагмент картины бинар-
бинарной фурье-голограммы	ной фурье-голограммы

Это означает, что относительная высота апертуры Wnm , относительная

ширина с и параметр Pnm , характеризующий ее положение, должны удовлетворять условиям:

a) W 1;	б)	P		c	1.	(5.41)
				c

nm		nm	2
			2

Область, заключенная внутри отдельного квадратика, является конечным элементом голограммы. Фрагмент получаемой таким образом картины представлен на рис. 5.7. Так как каждый конечный элемент содержит единственный отсчет фурье-образа объекта, который состоит из значений амплитуды и фазы, то становится ясным, почему при кодировании по схеме Ломана варьируются лишь два параметра - Pnm и Wnm . Процесс отоб-

ражения голографической информации в картину осуществляется ЦВМ с помощью какого-либо выходного устройства, например двухтонового графопостроителя. Полученная таким образом черно-белая картина и представляет увеличенное изображение искомой голограммы в масштабе, согласованном с параметрами графопостроителя. Оптическим уменьшением этой картины (голограммы) до требуемых размеров и записью ее на высокоразрешающую пленку заканчивается процесс изготовления синтезированной голограммы. Амплитудное пропускание синтезированной голограммы является бинарной функцией, т. е. в любой точке голограммы принимает значение, равное либо нулю, либо единице. Поэтому такие голограммы получили название бинарных фурье-голограмм.

Для оптического восстановления изображения синтезированная фурьеголограмма освещается осевой или внеосевой плоской монохроматической световой волной. Дифрагированный волновой фронт будет аппроксимировать фурье-образ распределения комплексных амплитуд света, пропущенного или рассеянного объектом. В результате оптического фурьепреобразования дифрагированной волны с помощью линзы в задней фокальной плоскости последней образуются изображения объекта.

5.5. Моделирование на ЭВМ многокомпонентной когерентной оптической системы

Моделирование на ЭВМ когерентных оптических систем важно при решении задач проектирования и применения этих систем, а также при создании обучающих программ – тренажеров. Такое моделирование позволяет точно контролировать параметры, присущие исследуемому оптическому процессу, полностью исключить влияние различных помех (вибраций, пыли, дефектов оптических элементов и т.д.), исследовать влияние каждого параметра в отдельности, их совокупности в целом и шумов на выходное оптическое изображение.

Для определения полей на выходе сложных оптических систем с произвольным расположением оптических элементов (транспарантов, линз, фильтров) необходим численный расчет интегралов Френеля, особенностью которых является наличие в подынтегральной функции квадратичного фазового множителя, частота осцилляций которого может быть достаточно

большой. Очевидно, что при расчетах на ЭВМ необходимо использовать такие математические выражения для полей, в которых при переходе к дискретному представлению максимальная частота осцилляций квадратичного фазового множителя при заданных параметрах оптической системы соответствует частоте дискретизации оптического сигнала. Для получения приемлемого быстродействия, особенно для обучающих программ, при вычислениях интегралов Френеля желательно использовать быстрые алгоритмы. Немаловажное значение имеют и возможности пользовательского интерфейса моделирующей программы.

Рассмотрим один из возможных быстрых алгоритмов расчета элементарного оптического каскада. На его основе строится блочная цифровая модель многокомпонентной когерентной оптической системы, которая реализована в виде программы для персональных ЭВМ.

Алгоритм расчета элементарного оптического каскада. Пусть транспарант с комплексной функцией пропускания t x находится на расстоянии a перед собирающей линзой с фокусным расстоянием f и

освещается когерентной световой волной единичной амплитуды со сферическим волновым фронтом произвольного радиуса c (для простоты

ограничимся рассмотрением одномерного случая). Для нахождения

комплексных амплитуд p x,b светового поля на расстоянии

b за линзой

используем следующее соотношение:

i f a

2 f

p x, b ~ exp

t x1

exp i

xx1

dx1 , (5.42)

где l 2 f a b ab , – длина световой волны, а
z	c f a b ab	.	(5.43)

f a b c b a c

Представив в (1) функцию пропускания транспаранта через интеграл Фурье и выполнив интегрирование по пространственной переменной, получим другое выражение для комплексных амплитуд светового поля на выходе оптического каскада:

p x, b ~

exp

где T u – фурье-образ

a c f

exp i

x 2 T u

c f

b ]

exp i

ux du ,

(5.44)

c f

функции

t x ,

u –

пространственная

частота. В

выражениях (5.43), (5.44) несущественные для моделирования амплитуднофазовые множители опущены.

Интегралы в (5.43) и (5.44) представляют собой интегралы Фурье от произведения соответствующих подынтегральных функций и квадратичных фазовых множителей. При этом частоты осцилляций квадратичных фазовых множителей в подынтегральных функциях по-разному зависят от параметра

z. Далее будем считать, что исходный сигнал t x вне интервала	d		d
		;

	2		2

равен нулю. Осуществим дискретизацию с равномерным шагом функций t x и T u . Выберем шаг дискретизации достаточным для восстановления из полученных последовательностей t j , T j ( j N2, , 0, , N2 1 , N

– число дискретных отсчетов) исходных непрерывных функций с требуемой погрешностью. Тогда интегралы в (5.42) и (5.44) могут быть

аппроксимированы	соответствующими								суммами	дискретного
преобразования Фурье (ДПФ).
Квадратичный фазовый множитель A1 j									в ДПФ для интеграла из
выражения (5.42) будет равен
				d 2
	A j exp i					j 2 ,				(5.45)
	A j exp i					j 2 ,				(5.45)
	1			zN 2
				zN 2
а квадратичный фазовый множитель A2 j в ДПФ для интеграла из (5.44) –
	A2		i		z	j	2			(5.46)
	A2	j exp	i		d 2	j		.		(5.46)
					d 2

Для заданных j, N, , d абсолютные значения фазы в выражениях (5.45) и (5.46) равны друг другу, если

				z z					d 2		.		(5.47)
				z z				0			.		(5.47)
									N

В этом случае разность фаз 0						между j -м и j 1 -м отсчетами в (5.45) и
(5.46) равна							j2 j 1 2
													(5.48)
			0										(5.48)
			0			N
						N
и при	j N	достигает максимума
	2
										N 1		.	(5.49)
					0							.	(5.49)
					0	max				N
										N
	Таким образом, при z z0					разность фаз в двух соседних отсчетах для

квадратичных фазовых множителей (4), (5) не превышает . Если же z z0 ,

то при z z0 максимальная разность фаз max 0 max для квадратичного фазового множителя (5.45), а при z z0 max 0 max для квадратичного

фазового множителя (5.46).

Квадратичные фазовые множители перед интегралами в выражениях (5.42) и (5.44) при расчетах только одного элементарного оптического каскада учитывать не будем, поскольку наблюдаемой в оптике величиной является интенсивность света.

Очевидным следствием вышеприведенных рассуждений является алгоритм расчета комплексных амплитуд световых полей в элементарном оптическом каскаде. При z z0 поле p x,b рассчитывается исходя из

выражения (5.42) (первый алгоритм), а при z z0 – из выражения (5.44)

(второй алгоритм), например, путем вычисления соответствующих ДПФ на основе быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Полученные результаты легко обобщаются на двумерный случай. При этом в двумерном случае выражение для 0 max имеет вид (5.49), если

дискретная функция пропускания t j, k и ее спектр T j, k отличны от нуля в круговой области j 2 k 2 N 2 4 . Для квадратной области [ j N 2 , k N 2]

[ 0 ]max 2 N 1, т.е. ошибка в вычислениях возрастает.

Алгоритм расчета многокаскадной оптической системы. Составим алгоритм расчета интенсивности света в произвольных плоскостях многокаскадной оптической системы в состав которой входят: блок источника когерентного монохроматического света с оптической системой, дающий на выходе сферический волновой фронт единичной амплитуды с кривизной c0 ; набор элементарных оптических каскадов, каждый из которых

содержит линзу и пару транспарантов-фильтров, расположенных до и после линзы; фоторегистратор – устройство, фиксирующее интенсивность света и устанавливающееся на некотором расстоянии от выходной плоскости последнего в оптической системе элементарного оптического каскада. Будем считать заданными: длину световой волны , апертуру оптической системы d0 (размер первого транспаранта), число отсчетов на апертуре N N ,

кривизну c0 исходного сферического фронта.

В плоскостях первого и последнего транспарантов могут устанавливаться один или несколько транспарантов. В случае нескольких транспарантов функция пропускания их совокупности определяется произведением функций пропускания каждого из транспарантов.

Далее рассмотрим первый оптический каскад. Необходимо задать функцию пропускания транспаранта t1 , расстояние a1 от транспаранта до

линзы, фокусное расстояние f1 линзы, расстояние b1 от линзы до выходной

плоскости первого оптического каскада. Затем по формуле (5.43) рассчитывается величина z , а по формуле (5.47) – z0 . Если z z0 , то для

нахождения поля на выходе каскада распределение комплексных амплитуд t1

умножается на квадратичный фазовый множитель (5.45), и затем осуществляется ДПФ от полученного произведения. Если z z0 , то для

нахождения выходного поля ДПФ от t1 умножается на квадратичный

фазовый множитель (5.46), и затем осуществляется обратное ДПФ от полученного произведения.

Если в оптическом каскаде есть, аберрации, то полученное выходное распределение комплексных амплитуд поля подвергается еще одному ДПФ. Полученный результат умножается на функцию аберраций в частотном представлении, и затем для нахождения окончательного распределения выполняется обратное ДПФ от полученного таким образом поля. Для вычисления ДПФ на основе алгоритма БПФ число отсчетов на апертуре

N 2n , где n -целое число.

Для полученного результирующего поля на выходе первого каскада рассчитывается его геометрический размер (апертура следующего оптического каскада) d1 и радиус кривизны поля c1 (радиус кривизны

сферического волнового фронта для следующего каскада). В случае расчетов по первому алгоритму

N f1 a1 b1 a1b1

d0 f

f1 a1 b1 a1b1

f1 a

а при расчетах по второму алгоритму

c0 a1 b1

b1 a1 c0

c0 f1

f1 a1 b1 a1b1 c0 f1 b1

f1 a1

При наличии последующих оптических каскадов в выходной плоскости первого каскада устанавливается транспарант с дискретной функцией пропускания t2 , который в соответствии с представленным выше

алгоритмом освещается сферическим волновым фронтом с радиусом кривизны c1 и имеет линейный размер d1 . Этот транспарант является

входным для второго оптического каскада, и т. д. по числу оптических каскадов. В выходной плоскости последнего каскада устанавливается регистратор, вычисляющий модуль, либо квадрат модуля (интенсивность) результирующего поля.

6. Визуализация фазовых объектов

6.1. Преобразование Гильберта

Преобразованием Гильберта называют переход от исходной
вещественной функции f	x к функции x , которая равна

	x		1	P	f	d	,	(6.1)

				x
где P указывает на то,	что	интегрирование					ведется в смысле	главного

значения Коши. Преобразование Гильберта является сверткой исходной
функции f x с ядром g0	x ;
		x	1	1
	g0			P	.	(6.2)
	g0			P	.	(6.2)
				x

Поэтому определение преобразование Гильберта можно компактно записать в виде

x f x g0 x .

(6.3)

Как известно,

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Обработка изображений

#
25.04.20151.6 Mб137Л.Р. по обработке изображений Ч. 1.pdf
#
25.04.20152.67 Mб156Л.Р. по обработке изображений Ч. 2.pdf
#
25.04.20151.73 Mб161Лекции по обработке изображений Ч 1.pdf
#
25.04.20156.34 Mб275Лекции по обработке изображений Ч 2.pdf